Решение линейных уравнений с одной переменной

Решение линейных уравнений с одной переменной

    В данной статье рассмотрим принцип решения таких уравнений как линейные уравнения. Запишем определение этих уравнений, зададим общий вид. Разберем все условия нахождения решений линейных уравнений, используя, в том числе, практические примеры.

    Обратим внимание, что материал ниже содержит информацию по линейным уравнениям с одной переменной. Линейные уравнения с двумя переменными рассматриваются в отдельной статье.

    Что такое линейное уравнение

    Определение 1

    Линейное уравнение – это уравнение, запись которого такова:
    a·x=b, где x – переменная, a и b – некоторые числа.

    Такая формулировка использована в учебнике алгебры (7 класс) Ю.Н.Макарычева.

    Пример 1

    Примерами линейных уравнений будут:

    3·x=11 (уравнение с одной переменной x при а=5 и b=10);

    3,1·y=0 (линейное уравнение с переменной y, где а=-3,1 и b=0);

    x=4 и x=5,37 (линейные уравнения, где число a записано в явном виде и равно 1 и -1 соответственно. Для первого уравнения b=-4; для второго - b=5,37) и т.п.

    В различных учебных материалах могут встречаться разные определения. К примеру, Виленкин Н.Я. к линейным относит также те уравнения, которые возможно преобразовать в вид a·x=b при помощи переноса слагаемых из одной части в другую со сменой знака и приведения подобных слагаемых. Если следовать такой трактовке, уравнение 5·x=2·x+6также линейное.

    А вот учебник алгебры (7 класс) Мордковича А.Г. задает такое описание:

    Определение 2

    Линейное уравнение с одной переменной x – это уравнение вида a·x+b=0, где a и b – некоторые числа, называемые коэффициентами линейного уравнения.

    Пример 2

    Примером линейных уравнений подобного вида могут быть:

     3·x7=0 (a=3, b= 7);

    1,8·y+7,9=0 (a=1,8, b=7,9).

    Но также там приведены примеры линейных уравнений, которые мы уже использовали выше: вида a·x=b, например, 6·x=35.

    Мы сразу условимся, что в данной статье под линейным уравнением с одной переменной мы будем понимать уравнение записи a·x+b=0, где x – переменная; a, b – коэффициенты. Подобная форма линейного уравнения нам видится наиболее оправданной, поскольку линейные уравнения – это алгебраические уравнения первой степени. А прочие уравнения, указанные выше, и уравнения, приведенные равносильными преобразованиями в вид a·x+b=0, определим, как уравнения, сводящиеся к линейным уравнениям.

    При таком подходе уравнение 5·x+8=0 – линейное, а 5·x=8 -  уравнение, сводящееся к линейному.

    Принцип решения линейных уравнений

    Рассмотрим, как определить, будет ли заданное линейное уравнение иметь корни и, если да, то сколько и как их определить.

    Определение 3

    Факт наличия корней линейного уравнения определятся значениями коэффициентов a и b. Запишем эти условия:

    • при a0 линейное уравнение имеет единственный корень x=-ba;
    • при a=0 и b0 линейное уравнение не имеет корней;
    • при a=0 и b=0 линейное уравнение имеет бесконечно много корней. По сути в данном случае любое число может стать корнем линейного уравнения.

    Дадим пояснение. Нам известно, что в процессе решения уравнения возможно осуществлять преобразование заданного уравнения в равносильное ему, а значит имеющее те же корни, что исходное уравнение, или также не имеющее корней. Мы можем производить следующие равносильные преобразования:

    • перенести слагаемое из одной части в другую, сменив знак на противоположный;
    • умножить или разделить обе части уравнения на одно и то же число, не равное нулю.

    Таким образом, преобразуем линейное уравнение a·x+b=0, перенеся слагаемое b из левой части в правую часть со сменой знака. Получим: a·x=b.

    Далее мы разделим обе части равенства на число а, при этом условившись, что это число отлично от нуля, иначе деление станет невозможным. Случай, когда а=0, рассмотрим позже.

    Итак, производим деление обеих частей уравнения на не равное нулю число а, получив в итоге равенство вида x=-ba. Т.е., когда a0, исходное уравнение a·x+b=0 равносильно равенству x=-ba, в котором очевиден корень -ba.

    Методом от противного возможно продемонстрировать, что найденный корень – единственный. Зададим обозначение найденного корня -ba как x1. Выскажем предположение, что имеется еще один корень линейного уравнения с обозначением x2. И конечно: x2x1, а это, в свою очередь, опираясь на определение равных чисел через разность, равносильно условию x1x20. С учетом вышесказанного мы можем составить следующие равенства, подставив корни:
    a·x1+b=0 и a·x2+b=0.
    Свойство числовых равенств дает возможность произвести почленное вычитание частей равенств:

    a·x1+b(a·x2+b)=00, отсюда: a·(x1x2)+(bb)=0 и далее a·(x1x2)=0. Равенство a·(x1x2)=0 является неверным, поскольку ранее условием было задано, что a0 и x1x20. Полученное противоречие и служит доказательством того, что при a0 линейное уравнение a·x+b=0 имеет лишь один корень.

    Обоснуем еще два пункта условий, содержащие a=0.

    Когда a=0 линейное уравнение a·x+b=0 запишется как 0·x+b=0. Свойство умножения числа на нуль дает нам право утверждать, что какое бы число не было взято в качестве x, подставив его в равенство 0·x+b=0, получим b=0. Равенство справедливо при  b=0; в прочих случаях, когда b0, равенство становится неверным.

    Таким образом, когда a=0 и  b=0, любое число может стать корнем линейного уравнения a·x+b=0, поскольку при выполнении этих условий, подставляя вместо x любое число, получаем верное числовое равенство 0=0. Когда же a=0 и b0 линейное уравнение a·x+b=0 вовсе не будет иметь корней, поскольку при выполнении указанных условий, подставляя вместо x любое число, получаем неверное числовое равенство b=0.

    Все приведенные рассуждения дают нам возможность записать алгоритм, дающий возможность найти решение любого линейного уравнения:

    • по виду записи определяем значения коэффициентов a и b и анализируем их;
    • при a=0 и b=0 уравнение будет иметь бесконечно много корней, т.е. любое число станет корнем заданного уравнения;
    • при a=0 и b0 заданное уравнение не будет иметь корней;
    • при a, отличном от нуля, начинаем поиск единственного корня исходного линейного уравнения:
    1. перенесем коэффициент b в правую часть со сменой знака на противоположный, приводя линейное уравнение к виду a·x=b;
    2. обе части полученного равенства делим на число a, что даст нам искомый корень заданного уравнения: x=-ba.

    Собственно, описанная последовательность действий и есть ответ на вопрос, как находить решение линейного уравнения.

    Напоследок уточним, что уравнения вида a·x=b решаются по похожему алгоритму с единственным отличием, что число b в такой записи уже перенесено в нужную часть уравнения, и при a0 можно сразу выполнять деление частей уравнения на число a.

    Таким образом, чтобы найти решение уравнения a·x=b, используем такой алгоритм:

    • при a=0 и b=0 уравнение будет иметь бесконечно много корней, т.е. любое число может стать его корнем;
    • при a=0 и b0 заданное уравнение не будет иметь корней;
    • при a, не равном нулю, обе части уравнения делятся на число a, что дает возможность найти единственный корень, который равен ba.

    Примеры решения линейных уравнений

    Пример 3

    Необходимо решить линейное уравнение 0·x0=0.

    Решение

    По записи заданного уравнения мы видим, что a=0 и b=0 (или b=0, что то же самое). Таким образом, заданное уравнение может иметь бесконечно много корней или любое число.

    Ответ: x – любое число.

    Пример 4

    Необходимо определить, имеет ли корни уравнение 0·x+2,7=0.

    Решение

    По записи определяем, что а=0, b=2,7. Таким образом, заданное уравнение не будет иметь корней.

    Ответ: исходное линейное уравнение не имеет корней.

    Пример 5

    Задано линейное уравнение 0,3·x0,027=0. Необходимо решить его.

    Решение

    По записи уравнения определяем, что а=0,3; b= -0,027, что позволяет нам утверждать наличие единственного корня у заданного уравнения.

    Следуя алгоритму, переносим b в правую часть уравнения, сменив знак, получаем: 0,3·x=0,027. Далее разделим обе части полученного равенства на а=0,3, тогда: x=0,0270,3.

    Осуществим деление десятичных дробей:

    0,0270,3=27300=3·93·100=9100=0,09

    Полученный результат есть корень заданного уравнения.

    Кратко решение запишем так:

    0,3·x-0,027=0,0,3·x=0,027,x=0,0270,3,x=0,09.

    Ответ: x=0,09.

    Для наглядности приведем решение уравнения записи a·x=b

    Пример N

    Заданы уравнения: 1) 0·x=0; 2) 0·x=9; 3) -38·x=-334. Необходимо решить их. 

    Решение

    Все заданные уравнения отвечают записи a·x=b. Рассмотрим по очереди.

    В уравнении 0·x=0, a=0 и b=0, что означает: любое число может быть корнем этого уравнения.

    Во втором уравнении 0·x=9: a=0 и b=9, таким образом, это уравнение не будет иметь корней.

    По виду последнего уравнения -38·x=-334  запишем коэффициенты: a=-38, b=-334, т.е. уравнение имеет единственный корень. Найдем его. Поделим обе части уравнения на a, получим в результате:  x=-334-38. Упростим дробь, применив правило деления отрицательных чисел с последующим переводом смешанного числа в обыкновенную дробь и делением обыкновенных дробей:

    -334-38=33438=15438=154·83=15·84·3=10

    Кратко решение запишем так:

    -38·x=-334,x=-334-38,x=10.

    Ответ: 1) x – любое число, 2) уравнение не имеет корней, 3) x=10.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,9 из 5 (10 голосов)