Неравенства с переменными, их частные и общее решение

Неравенства с переменными, их частные и общее решение

    Неравенства, содержащие переменную, занимают основную долю в общем объеме изучения темы «Неравенства» школьной программы математики и алгебры. Данная статья содержит базовый материал: определение понятия неравенства с переменными и их решений, способ записи решений неравенств. Также для наглядности приведем решение практических задач.

    Определение неравенств с переменными

    Числовые неравенства мы разобрали в соответствующей статье, выяснив что числовыми неравенствами являются два числовых выражения, между которыми располагается какой-либо из знаков неравенства. Заменив хотя бы одно из числовых выражений выражением с переменной, мы получим неравенство с переменными. Такое определение дано по виду записи подобных неравенств. Выделяют неравенства с одной, двумя, тремя и большим количеством переменных по числу переменных, использующихся в записи неравенства.

    Неравенства с одной переменной

    Определение 1

    Неравенство с одной переменной – это неравенство, в записи которого используется одна переменная.

    К примеру, k < 7 – неравенство с одной переменной k; 8  d2 – 3 – неравенство с одной переменной d.  При этом возможно, что переменная будет участвовать в записи несколько раз, например:

    ((2·x - 5·t2) · (t-1) < 1t  или t-1+ 4  1t- t3t+3

    Неравенства с двумя переменными

    Определение 2

    Неравенство с двумя переменными – это неравенство, в записи которого используются две неодинаковые переменные.

    Например, m3+15· n2>13 – неравенство с двумя переменными m и n;

                        (f+2·g)37+3< 7 - ff2+1 – неравенство с двумя переменными f и g.

    По записи неравенства с двумя переменными схожи с неравенствами с параметром и одной переменной. Но тогда, как правило, в условиях всегда указывается, какие буквы служат обозначением параметров, поэтому вопрос о том, сколько переменных в заданном неравенстве, обычно не возникает.

    Неравенства с тремя или больше переменными

    Определение 3

    Неравенства с тремя, четырьмя и т.д. переменными – это неравенства, в записи которых используются три, четыре и т.д. переменных.

    В школьной программе подобные неравенства встречаются редко, но тем не менее существуют. Например, шар, радиус которого равен 2 и центр которого совпадает с началом координат, возможно определить неравенством с тремя переменными: x2 + y2 + z2  4.

    Решения неравенства: частное, общее и простое решение

    Определение 4

    Решение неравенства с одной переменной – такое значение переменной, которое обращает исходное неравенство в верное числовое неравенство.

    В качестве примера возьмем простое неравенство вида y > 9. Пусть y=13. Подставим это значение в исходное неравенство и получим числовое неравенство 13 > 9. Оно является верным, а значит 13 является решением исходного неравенства y > 9. А вот число y=5 не станет решением данного неравенства, поскольку, подставив такое значение переменной, мы получим неверное числовое неравенство: 5 > 9.

    Логичным следствием является вопрос о возможном количестве решений конкретного неравенства. Отметим, что неравенство с одной переменной может не иметь решений, иметь конечное количество решений или иметь бесконечно много решений. Мы рассмотрим это утверждение, имеющее большую значимость в практике, более детально в изучении самого процесса нахождения решений неравенств.

    Резюмируем:

    •  неравенство может не иметь решений. К примеру: z2<-2. В самом деле, при любом действительном значении переменной z, мы будем иметь неверное числовое неравенство, опираясь на то, что, согласно свойствам степени, квадрат любого числа является неотрицательным числом. Оно, в свою очередь, никак не может быть меньше -2.
    • неравенство может иметь лишь одно решение. Например, неравенство f=10 имеет решение f=1, и оно единственно;
    •  неравенство может иметь конечное количество решений: три, шесть и т.п. Как пример, рассмотрим неравенство |x2 - 1|  0, решений которого существует ровно два: 1 и -1;
    • неравенство может иметь бесконечно много решений. Например: t > 5. Решением данного неравенства станет любое действительное число, большее 5: 13, 87, 601, 825 и т.п.

    Все вышесказанное верно и для неравенств с двумя, тремя и более переменными.

    Определение 5

    Решение неравенства с двумя переменными – это пара значений заданных переменных, при которых исходное неравенство с переменными преобразуется в верное числовое неравенство.

    В качестве примера рассмотрим неравенство с двумя переменными y и z: y + 1>2·z. Пара значений переменных y и z: 1 и 0 соответственно, являются решением заданного неравенства, поскольку подставив их, мы получим верное числовое неравенство: 1+1>2·0. В то же время пара значений y=2, z=4 не будет служить решением исходного неравенства: их подстановка создаст неверное числовое неравенство 2+1>2·4.

    Пара значений переменных зачастую записывается в скобках наподобие координат точек в прямоугольной системе координат. Например, для вышеуказанного примера решение запишется так: (1, 0).

    Все вышесказанное верно и для неравенств с большим количеством переменных.

    Определение 6

    Решение неравенства с тремя, четырьмя и более переменными – это тройка, четверка и т.п. значений заданных переменных, при которых исходное неравенство преобразуется в верное числовое неравенство.

    Например, рассмотрим неравенство с четырьмя переменными a2+b2+c2+d2 36. Четверка значений этих переменных, такие как: a=1, b=2, c=3, d=4, являются решением исходного неравенства, поскольку, подставив их, мы получим верное числовое неравенство: 12+22+32+42 36.

    Также рассмотрим такие понятия как «частное решение неравенства» и «общее решение неравенства».

    Определение 7

    Частное решение неравенства – это некоторое отдельно взятое решение исходного неравенства.

    К примеру,17 – частное решение неравенства m<101. Еще одним частным решением указанного неравенства будет число 7.

    Определение 8

    Общее решение неравенства – множество всех частных решений исходного неравенства.

    Рассмотрим на том же примере: m<101. Общим решением этого неравенства будет множество чисел, меньших 101.

    Несмотря на частоту использования указанной терминологии, все же намного чаще применяют понятие решения неравенства без неких уточнений, наделяя при этом смыслом общего решения. В случае, когда необходимо определить отдельное решение, в исходном задании так и указывают.

    Способ записи общего решения неравенства

    Навык записи общего решения неравенства нужен для формирования ответа при решении задач. Сначала разберем принятые правила записи на примере решений неравенств с одной переменной.

    Напомним, что решение неравенства с одной переменной – это либо число, либо множество чисел, т.е. числовое множество.

    Определение 9

    Когда равенство не имеет решений, пишут буквально – «нет решений», либо применяют знак пустого множества .

    Когда общее решение – одно число, так его и записывают: 2, -1,15 ли 817. А также можно заключить его в фигурные скобки.

    Когда общее решение – несколько чисел (при этом их немного), нужно либо записать их по очереди, отделив запятой или точкой с запятой, либо – через запятую, заключив в фигурные скобки. Например: 6, 12, 45 или {6, 12, 45} .

    Наконец, когда общее решение включает в себя бесконечно много решений, то применяют общепринятые обозначения множеств натуральных чисел (N), целых чисел (N), рациональных чисел (Q), действительных чисел (R), а также числовых промежутков, множеств отдельных чисел и т.п. В практике чаще встречаются простейшие неравенства и числовые промежутки. Пусть, решением некоторого неравенства станут: число 3, полуинтервал (5;9] и луч [13; +), тогда ответ запишется так: 3, (5, 9], [13, +), или: 3  (5, 9]  [13, +), или: x=3, 5<x9, x13.

    Чтобы записать общее решение неравенства с двумя, тремя и более переменными при небольшом количестве решений, перечисляют их все; либо делают описание множеств переменных. К примеру, d – любое целое число, s равно 0 или 1, t=-3, m=17.

    Зачастую решение для неравенства с двумя переменными не записывают, а «зарисовывают», изображая решения неравенства на координатной плоскости. Пусть задано неравенство: 2·х-у5; его решение – все точки, расположенные на и ниже прямой, определяемой формулой: у=2·х-5.

    Решением неравенства с тремя переменными станет некое множество точек трехмерного пространства.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter