Числовые неравенства и их свойства

Числовые неравенства и их свойства

    С неравенствами мы познакомились  в школе, где применяем числовые неравенства. В данной статье рассмотрим свойства числовых неравенств, не которых строятся принципы работы с ними.

    Свойства неравенств аналогичны свойствам числовых неравенств. Будут рассмотрены свойства, его обоснования, приведем примеры.

    Числовые неравенства: определение, примеры

    При введении понятия неравенства имеем, что их определение производится по виду записи.  Имеются алгебраические выражения, которые имеют знаки , <, >,  , . Дадим определение.

    Определение 1

    Числовым неравенством называют неравенство, в записи которого обе стороны имеют числа и числовые выражения.

    Числовые неравенства рассматриваем еще в школе после изучения натуральных чисел. Такие операции сравнения изучаются поэтапно. Первоначальные имею вид 1<5, 5+7>3. После чего правила дополняются, а неравенства усложняются, тогда получаем неравенства вида 523>5,1(2), ln 0.73-172<0.

    Свойства числовых неравенств

    Чтобы правильно работать с неравенствами, необходимо использовать свойства числовых неравенств. Они идут из понятия неравенства. Такое понятие задается при помощи утверждения, которое обозначается как «больше» или «меньше».

    Определение 2
    • число a больше b, когда  разность a-b – положительное число;
    • число a меньше b, когда разность a-b – отрицательное число;
    • число a равно b, когда разность a-bравняется нулю.

    Определение используется при решении неравенств с отношениями «меньше или равно», «больше или равно». Получаем, что

    Определение 3
    • a больше или равно b, когда a-b является неотрицательным числом;
    • a меньше или равно b, когда a-b является неположительным числом.

    Определения будут использованы при доказательствах свойств числовых неравенств.

    Основные свойства

    Рассмотрим 3 основные неравенства. Использование знаков < и > характерно при свойствах:

    Определение 4
    • антирефлексивности, которое говорит о том, что любое число a из неравенств a<a и a>a считается неверным. Известно, что для любого a имеет место быть равенство aa=0, отсюда получаем, что а=а. Значит, a<a и a>a неверно. Например, 3<3 и -41415>-41415 являются неверными.
    • ассиметричности. Когда числа a и b являются такими, что a<b, то b>a, и если a>b, то b<a.  Используя определение отношений «больше», «меньше» обоснуем его. Так как в первой части имеем, что a<b, тогда  ab является отрицательным числом. А ba=(ab) положительное число, потому как число противоположно отрицательному числу ab. Отсюда следует, что b>a. Аналогичным образом доказывается  и вторая его часть.
    Пример 1

    Например, при заданном неравенстве 5<11 имеем, что 11>5, значит его числовое неравенство 0,27>1,3 перепишется  в виде 1,3<0,27.

    Перед тем, как перейти к следующему свойству, заметим, что при помощи ассиметричности можно читать неравенство справа налево и наоборот. Таким образом, числовое неравенство можно изменять  и менять местами.

    Определение 5
    • транзитивности.  Когда числа a, b, c соответствуют условию a<b и b<c, тогда  a<c, и если a>b и b>c, тогда a>c.  
    Доказательство 1

    Первое утверждение можно доказать. Условие a<b и b<c означает, что ab и bc являются отрицательными,  а разность а-с представляется  в виде (ab)+(bc), что является отрицательным числом, потому как имеем сумму двух отрицательных ab и bc. Отсюда получаем, что а-с является отрицательным числом, а значит, что a<c. Что и требовалось доказать.

    Аналогичным образом доказывается вторая часть со свойством транизитивности.

    Пример 2

    Разобранное свойство рассматриваем на примере неравенств 1<5 и 5<8. Отсюда имеем, что 1<8. Аналогичным образом из неравенств 12>18 и 18>132 следует, что 12>132.

    Числовые неравенства, которые записываются  с помощью нестрогих знаков неравенства, обладают свойством рефлексивности, потому как aa и aa  могут иметь случай равенства а=а. им присуща ассиметричность и транзитивность.

    Определение 6

    Неравенства, имеющие  в записи знаки и, имеют свойства:

    • рефлексивности aa и aa считаются  верными неравенствами;
    • антисимметричности, когда ab, тогда ba, и если ab, тогда ba.
    • транзитивности, когда ab и bc, тогда ac, а также, если ab и bc, то тогда ac.

    Доказательство производится  аналогичным образом.

    Другие важные свойства числовых неравенств

    Для дополнения основных свойств неравенств используются результаты, которые имеют практическое значение. Применяется принцип метода оценка значений выражений, на которых и базируются принципы решения неравенств.

    Данный пункт раскрывает свойства неравенств для одного знака строгого неарвенства. Аналогично производится для нестрогих. Рассмотрим на примере, сформулировав неравенство если a<b и c являются любыми числами, то a+c<b+c. Справедливыми окажутся свойства:

    • если a>b, то a+c>b+c;
    • если ab, то a+cb+c;
    • если ab, то a+cb+c.

    Для удобного представления дадим соответствующее утверждение, которое записывается  и приводятся доказательства, показываются примеры использования.

    Определение 7

    Прибавление или вычисления числа к обеим сторонам. Иначе говоря, когда a и b соответствуют неравенству a<b, тогда для любого такого числа имеет смысл неравенство вида a+c<b+c.

    Доказательство 2

    Чтобы доказать это, необходимо, чтобы уравнение соответствовало условию a<b. Тогда (a+c)(b+c)=a+cbc=ab. Из условия a<b получим, что ab<0. Значит, (a+c)(b+c)<0, откуда a+c<b+c. Множество действительных числе могут быть изменены  с помощью прибавления противоположного числа с.

    Пример 3

    К примеру, если обе части неравенства 7>3 увеличиваем на 15, тогда получаем, что 7+15>3+15. Это равно 22>18.

    Определение 8

    Когда обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же число c, получим верное неравенство.  Если взять число c отрицательным, то знак поменяется на противоположный. Иначе это выглядит так: для  a и b неравенство выполняется, когда  a<b и c являются положительными числами, то a·c<b·c, а если v является отрицательным  числом, тогда a·c>b·c.

    Доказательство 3

    Когда имеется случай  c>0, необходимо составить разность левой и правой частей неравенства. Тогда получаем, что a·cb·c=(ab)·c. Из условия a<b, то ab<0, а c>0, тогда произведение (ab)·c будет отрицательным. Отсюда следует, что a·cb·c<0, где a·c<b·c. Другая часть доказывается аналогичным образом.

    При доказательстве деление на целое число можно заменить умножением на обратное заданному, то есть 1c.  Рассмотрим пример свойства на определенных числах.

    Пример 4

    Разрешено обе части неравенства 4<6 умножаем на положительное 0,5, тогда получим неравенство вида 4·0,5<6·0,5, где 2<3. Когда обе части делим на -4, то необходимо изменить знак неравенства на противоположный . отсюда имеем, что неравенство примет вид 8:(4)12:(4), где 23.

    Теперь сформулируем вытекающие два результата, которые используются при решении неравенств:

    • Следствие 1. При смене знаков частей числового неравенства меняется  сам знак неравенства на противоположный, как a<b, как a>b. Это соответствует правилу умножения обеих частей на -1. Оно применимо для перехода. Например, 6<2, то 6>2.
    • Следствие 2. При замене обратными числами частей числового неравенства на противоположный, меняется и его знак, причем неравенство останется верным. Отсюда имеем, что a и b являются положительными числами,  a<b, 1a>1b.

    При делении обеих частей неравенства a<b разрешается на число a·b. Данное свойство используется при верном неравенстве 5>32  имеем, что 15<23.  При отрицательных a и b c условием, что a<b , неравенство 1a>1b может получиться неверным.

    Пример 5

    Например, 2<3, однако, -12>13 являются неверным равенством.

    Все пункты объединяет то, что действия над частями неравенства  дают верное неравенство на выходе. Рассмотрим свойства, где изначально имеется несколько числовых неравенств, а его результат получим при сложении  или умножении его частей.

    Определение 9

    Когда числа a, b, c, d справедливы для неравенств a<b и c<d, тогда верным считается a+c<b+d. Свойство можно формировать таким образом: почленно складывать числа частей неравенства.

    Доказательство 4

    Докажем, что (a+c)(b+d)  является отрицательным числом, тогда получим, что a+c<b+d. Из условия имеем, что a<b и c<d. Выше доказанное свойство позволяет прибавлять к обеим частям одинаковое число. Тогда увеличим неравенство a<b на число b, при c<d, получим неравенства вида a+c<b+c и b+c<b+d. Полученное неравенство говорит о том, что ему присуще свойство транзитивности.

    Свойство применяется для почленного сложения трех, четырех и более числовых неравенств. Числам a1, a2, , an и b1, b2, , bn справедливы неравенства a1<b1, a2<b2, , an<bn , можно доказать метод математической индукции , получив a1+a2++an<b1+b2++bn.

    Пример 6

    Например, при данных трех числовых неравенствах одного знака 5<2, 1<12 и 3<4. Свойство позволяет определять  то, что 5+(1)+3<2+12+4 является верным.

    Определение 10

    Почленное умножение обеих частей дает в результате положительное число. При a<b и c<d, где a, b, c и d являются положительными числами, тогда неравенство вида a·c<b·d считается справедливым.

    Доказательство 5

    Чтобы доказать это, необходимо обе части неравенства a<b умножить на число с, а обе части c<d на b. В итоге получим, что неравенства a·c<b·c и b·c<b·d верные, откуда получим свойство транизитивности a·c<b·d.

    Это свойство считается справедливым для количества чисел, на которые необходимо умножить обе части неравенства. Тогда a1, a2, , an и b1, b2, , bn являются положительные числами, где a1<b1, a2<b2, , an<bn, то a1·a2··an<b1·b2··bn.

    Заметим, что при записи неравенств имеются неположительные числа, тогда их почленное умножение приводит к неверным неравенствам.

    Пример 7

    К примеру, неравенство 1<3 и 5<4 являются верными, а почленное их умножение даст результат в виде 1·(5)<3·(4), считается, что  5<12 это является неверным неравенством.

    Следствие: Почленное умножение неравенств a<b с положительными с a и b, причем получается an<bn .

    Свойства числовых неравенств

    Рассмотрим ниже приведенную свойства числовых неравенств.

    1. a<a, a>a - неверные неравенства,
      aa, aa- верные неравенства.
    2. Если a<b, то b>a - антисимметричность.
    3. Если a<b и b<c  то a<c - транзитивность.
    4. Если a<b и c - любоое число, то a+b<b+c.
    5. Если a<b и c - положительное число, то a·c<b·c,
      Если a<b и c - отрицательное число, то a·c>b·c.

    Следствие 1: если a<b, то -a>-b.

    Следствие 2: если a и b - положительные числа и a<b, то 1a>1b.

    1. Если a1<b1, a2<b2,..., an<bn, то a1+a2+...+an<b1+b2+...+bn.
    2. Если a1, a2,..., an, b1, b2,...,bn- положительные числа и a1<b1, a2<b2,..., an<bn, то a1·a2·...·an<b1·b2·...bn.

    Cледствие 1: если  a<ba и  b - положительные числа, то an<bn.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,3 из 5 (17 голосов)