Таблица числовых промежутков: виды, обозначения, изображения

Содержание:

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Среди множеств чисел имеются множества, где объектами выступают числовые промежутки. При указывании множества проще определить по промежутку. Поэтому записываем множества решений, используя числовые промежутки.

Данная статья дает ответы на вопросы о числовых промежутках, названиях, обозначениях, изображениях промежутков на координатной прямой, соответствии неравенств. В заключение будет рассмотрена таблица промежутков.

Виды числовых промежутков

Определение 1

Каждый числовой промежуток характеризуется:

названием;
наличием обычного или двойного неравенства;
обозначением;
геометрическим изображением на координатой прямой.

Числовой промежуток задается при помощи любых $3$ способов из выше приведенного списка. То есть при использовании неравенства, обозначения, изображения на координатной прямой. Данный способ наиболее применимый.

Произведем описание числовых промежутков с выше указанными сторонами:

Определение 2

Открытый числовой луч. Название связано с тем, что его опускают, оставляя открытым.

Этот промежуток имеет соответствующие неравенства $x < a$ или $x > a$ , где $a$ является некоторым действительным числом. То есть на такое луче имеются все действительные числа, которые меньше $a$ - $(x < a)$ или больше $a$ - $(x > a)$ .

Множество чисел, которые будут удовлетворять неравенству вида $x < a$ обозначается виде промежутка $(- \infty, a)$ , а для $x > a$ , как $(a, + \infty)$ .

Геометрический смыл отрытого луча рассматривает наличие числового промежутка. Между точками координатной прямой и ее числами имеется соответствие, благодаря которому прямую называем координатной. Если необходимо сравнить числа, то на координатной прямой большее число находится правее. Тогда неравенство вида $x < a$ включает в себя точки, которые расположены левее, а для $x > a$ – точки, которые правее. Само число не подходит для решения, поэтому на чертеже обозначают выколотой точкой. Промежуток, который необходим, выделяют при помощи штриховки. Рассмотрим рисунк, приведенный ниже.

Виды числовых промежутков

Из вышеприведенного рисунка видно, что числовые промежутки соответствуют части прямой, то есть лучам с началом в $a$ . Иначе говоря, называется лучами без начала. Поэтому он и получил название открытый числовой луч.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1

При заданном строгом неравенстве $x > - 3$ задается открытый луч. Эту запись можно представить в виде координат $(- 3, \infty)$ . То есть это все точки, лежащие правее, чем $- 3$ .

Определение 3

Числовой луч. Геометрический смысл в том, что начало не отбрасывается, иначе говоря, луч оставляет за собой свою полноценность.

Его задание идет с помощью нестрогих неравенств вида $x \leq a$ или $x \geq a$ . Для такого вида приняты специальные обозначения вида $(- \infty, a]$ и $[a, + \infty)$ , причем наличие квадратной скобки имеет значение того, что точка включена в решение или в множество. Рассмотрим рисунок, приведеный ниже.

Виды числовых промежутков

Для наглядного примера зададим числовой луч.

Определение 4

Интервал. Задавание при помощи интервалов записывается при помощи двойных неравенств $a < x < b$ , где $а$ и $b$ являются некоторыми действительными числами, где $a$ меньше $b$ , а $x$ является переменной. На таком интервале имеется множество точек и чисел, которые больше $a$ , но меньше $b$ . Обозначение такого интервала принято записывать в виде $(a, b)$ . Наличие круглых скобок говорит о том, что число $a$ и $b$ не включены в это множество. Координатная прямая при изображении получает $2$ выколотые точки.

Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Пример 5

Рассмотрев отрезок, получим , что его задание возможно при помощи двойного неравенства $\sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{3}$ , которое изображаем в виде $[\sqrt{2}, \sqrt{3}]$ . На координатной прямой данный точки будут включены в решение и закрашены.

Пример 6

Если имеется полуинтервал $(1, 3]$ , тогда его обозначение можно в виде двойного неравенства $1 < x \leq 3$ , при чем на координатной прямой изобразится с точками $1$ и $3$ , где $1$ будет исключена, то есть выколота на прямой.

Таблица числовых промежутков

Определение 7

Промежутки могут быть изображены в виде:

открытого числового луча;
числового луча;
интервала;
числового отрезка;
полуинтервала.

Чтобы упростить процесс вычисления, необходимо пользоваться специальной таблицей, где имеются обозначения всех видов числовых промежутков прямой.

Таблица числовых промежутков
Название	Неравнство	Обозначение	Изображение
Открытый числовой луч	$x < a$	$(- \infty, a)$
Открытый числовой луч	$x > a$	$(a, + \infty)$
Числовой луч	$x \leq a$	$(- \infty, a]$
Числовой луч	$x \geq a$	$[a, + \infty)$
Интервал	$a < x < b$	$(a, b)$
Числовой отрезок	$a \leq x \leq b$	$[a, b]$
Полуинтервал	$a < x \leq b$	$(a, b]$
Полуинтервал	$a \leq x < b$	$[a, b)$