Решение квадратных неравенств графически
Мы помогаем студентам с дипломными, курсовыми, контрольными Узнать стоимость

Решение квадратных неравенств графически

    Графический метод является одним из основных методов решения квадратных неравенств. В статье мы приведем алгоритм применения графического метода, а затем рассмотрим частные случаи на примерах.

    Суть графического метода

    Метод применим для решения любых неравенств, не только квадратных. Суть его вот в чем: правую и левую части неравенства рассматривают как две отдельные функции y=f(x) и y=g(x), их графики строят в прямоугольной системе координат и смотрят, какой из графиков располагается выше другого, и на каких промежутках. Оцениваются промежутки следующим образом:

    Определение 1
    • решениями неравенства f(x)>g(x) являются интервалы, где график функции f выше графика функции g;
    • решениями неравенства f(x)g(x) являются интервалы, где график функции f не ниже графика функции g;
    • решениями неравенства f(x)<g(x) являются интервалы, где график функции f ниже графика функции g;
    • решениями неравенства f(x)g(x) являются интервалы, где график функции f не выше графика функции g;
    • абсциссы точек пересечения графиков функций f и g являются решениями уравнения f(x)=g(x).

    Рассмотрим приведенный выше алгоритм на примере. Для этого возьмем квадратное неравенство a·x2+b·x+c<0 (, >, ) и выведем из него две функции. Левая часть неравенства будет отвечать  y=a·x2+b·x+c (при этом f(x)=a·x2+b·x+c), а правая y=0 (при этом g(x)=0).

    Графиком первой функции является парабола, второй прямая линия, которая совпадает с осью абсцисс Ох. Проанализируем положение параболы относительно оси Ох. Для этого выполним схематический рисунок.

    Решение с двумя корнями у квадратного трехчлена

    Ветви параболы направлены вверх. Она пересекает ось Ох в точках x1 и x2. Коэффициент а в данном случае положительный, так как именно он отвечает за направление ветвей параболы. Дискриминант положителен, что указывает на наличие двух корней у квадратного трехчлена a·x2+b·x+c . Корни трехчлена мы обозначили как x1 и x2, причем приняли, что x1<x2, так как на оси Ох изобразили точку с абсциссой x1 левее точки с абсциссой x2.

    Части параболы, расположенные выше оси Ох обозначим красным, ниже – синим. Это позволит нам сделать рисунок более наглядным.

    Выделим промежутки, которые соответствуют этим частям и отметим их на рисунке полями определенного цвета.

    Красным мы отметили промежутки (, x1) и (x2, +), на них парабола выше оси Ох. Они являются решением квадратного неравенства a·x2+b·x+c>0. Синим мы отметили промежуток (x1, x2), который является решением неравенства a·x2+b·x+c<0. Числа x1 и x2 будут отвечать равенству a·x2+b·x+c=0.

    Сделаем краткую запись решения. При a>0 и D=b24·a·c>0 (или D'=D4>0 при четном коэффициенте b) мы получаем:

    • решением квадратного неравенства a·x2+b·x+c>0 является (, x1)(x2, +) или в другой записи x<x1, x>x2;
    • решением квадратного неравенства a·x2+b·x+c0 является (, x1][x2, +) или в другой записи xx1, xx2;
    • решением квадратного неравенства a·x2+b·x+c<0 является (x1, x2) или в другой записи x1<x<x2;
    • решением квадратного неравенства a·x2+b·x+c0 является [x1, x2] или в другой записи x1xx2,

    где x1 и x2 – корни квадратного трехчлена a·x2+b·x+c, причем x1<x2.

    Решение с одним корнем у квадратного трехчлена

    На данном рисунке парабола касается оси Oх только в одной точке, которая обозначена как x0. Ветви параболы направлены вверх, что означает, что a>0. D=0, следовательно, квадратный трехчлен имеет один корень x0.

    Парабола расположена выше оси Oх полностью, за исключением точки касания координатной оси. Обозначим цветом промежутки  (, x0), (x0, ).

    Запишем результаты. При a>0 и D=0:

    • решением квадратного неравенства a·x2+b·x+c>0 является (, x0)(x0, +) или в другой записи xx0;
    • решением квадратного неравенства a·x2+b·x+c0 является (, +) или в другой записи xR;
    • квадратное неравенство a·x2+b·x+c<0 не имеет решений (нет интервалов, на которых парабола расположена ниже оси Ox);
    • квадратное неравенство a·x2+b·x+c0 имеет единственное решение x=x0 (его дает точка касания),

    где x0 - корень квадратного трехчлена a·x2+b·x+c.

    Решение квадратного трехчлена, не имеющего корней

    Рассмотрим третий случай, когда ветви параболы направлены вверх и не касаются оси Ox. Ветви параболы направлены вверх, что означает, что a>0. Квадратный трехчлен не имеет действительных корней, так как D<0.

    На графике нет интервалов, на которых парабола была бы ниже оси абсцисс. Это мы будем учитывать при выборе цвета для нашего рисунка.

    Получается, что при a>0 и D<0 решением квадратных неравенств  a·x2+b·x+c>0 и a·x2+b·x+c0 является множество всех действительных чисел, а неравенства a·x2+b·x+c<0 и a·x2+b·x+c0 не имеют решений.

    Нам осталось рассмотреть три варианта, когда ветви параболы направлены вниз. На этих трех вариантах можно не останавливаться подробно, так как при умножении обеих частей неравенства на 1 мы получаем равносильное неравенство с положительным коэффициентом при х2.

    Алгоритм решения неравенств с использованием графического способа

    Рассмотрение предыдущего раздела статьи подготовило нас к восприятию алгоритма решения неравенств с использованием графического способа. Для проведения вычислений нам необходимо будет каждый раз использовать чертеж, на котором будет изображена координатная прямая Oх и парабола, которая отвечает квадратичной функции y=a·x2+b·x+c. Ось Oу мы в большинстве случаев изображать не будем, так как для вычислений она не нужна и будет лишь перегружать чертеж.

    Для построения параболы нам необходимо будет знать две вещи:

    Определение 2
    • направление ветвей, которое определяется значением коэффициента a;
    • наличие точек пересечения параболы и оси абсцисс, которые определяются значением дискриминанта квадратного трехчлена a·x2+b·x+c.

    Точки пересечения и касания мы будет обозначать обычным способом при решении нестрогих неравенств и пустыми при решении строгих.

    Наличие готового чертежа позволяет перейти к следующему шагу решения. Он предполагает определение промежутков, на которых парабола располагается выше или ниже оси Oх. Промежутки и точки пересечения и являются решением квадратного неравенства. Если точек пересечения или касания нет и нет интервалов, то считается, что заданное в условиях задачи неравенство не имеет решений.

    Теперь решим несколько квадратных неравенств, используя приведенный выше алгоритм.

    Пример 1

    Необходимо решить неравенство 2·x2+513·x-2 графическим способом.

    Решение

    Нарисуем график  квадратичной функции y=2·x2+513·x-2 . Коэффициент при x2 положительный, так как равен 2. Это значит, что ветви параболы будут направлены вверх.

    Вычислим дискриминант квадратного трехчлена 2·x2+513·x-2 для того, чтобы выяснить, имеет ли парабола с осью абсцисс общие точки. Получаем:

    D=5132-4·2·(-2)=4009

    Как видим, D больше нуля, следовательно, у нас есть две точки пересечения:  x1=-513-40092·2  и x2=-513+40092·2 , то есть, x1=3 и x2=13.

    Мы решаем нестрогое неравенство, следовательно проставляем на графике обычные точки. Рисуем параболу. Как видите, рисунок имеет такой же вид как и в первом рассмотренном нами шаблоне.

    Наше неравенство имеет знак . Следовательно, нам нужно выделить промежутки на графике, на которых парабола расположена ниже оси Ox и добавить к ним точки пересечения.


    Нужный нам интервал 3, 13. Добавляем к нему точки пересечения и получаем числовой отрезок 3, 13. Это и есть решение нашей задачи. Записать ответ можно в виде двойного неравенства: 3x13.

    Ответ: 3, 13 или 3x13.

    Пример 2

    Решите квадратное неравенство x2+16·x63<0 графическим методом.

    Решение

    Квадрат переменной имеет отрицательный числовой коэффициент, поэтому ветви параболы будут направлены вниз. Вычислим четвертую часть дискриминанта D'=82(1)·(63)=6463=1. Такой результат подсказывает нам, что точек пересечения будет две.

    Вычислим корни квадратного трехчлена: x1=-8+1-1  и x2=-8-1-1  , x1=7 и x2=9.

    Получается, что парабола пересекает ось абсцисс в точках 7 и 9. Отметим эти точки на графике пустыми, так как мы работаем со строгим неравенством. После этого нарисуем параболу, которая пересекает ось Oх в отмеченных точках.

    Нас будут интересовать промежутки, на которых парабола располагается ниже оси Oх. Отметим эти интервалы синим цветом.

    Получаем ответ: решением неравенства являются промежутки (, 7), (9, +).

    Ответ: (, 7)(9, +) или в другой записи x<7, x>9.

    В тех случаях, когда дискриминант квадратного трехчлена равен нулю, необходимо внимательно подходить к вопросу о том, стоит ли включать в ответ абсциссы точки касания. Для того, чтобы принять правильное решение, необходимо учитывать знак неравенства. В строгих неравенствах точка касания оси абсцисс не является решением неравенства, в нестрогих является.

    Пример 3

    Решите квадратное неравенство 10·x214·x+4,90 графическим методом.

    Решение

    Ветви параболы в данном случае будут направлены вверх. Она будет касаться оси Oх в точке 0,7, так как

    Построим график функции y=10·x214·x+4,9. Ее ветви направлены вверх, так как коэффициент при x2 положительный, и она касается оси абсцисс в точке с абсциссой 0,7, так как D'=(7)210·4,9=0, откуда x0=710  или 0,7.

    Поставим точку и нарисуем параболу.

    Мы решаем нестрогое неравенство со знаком . Следовательно. Нас будут интересовать промежутки, на которых парабола располагается ниже оси абсцисс и точка касания. На рисунке нет интервалов, которые удовлетворяли бы нашим условиям. Есть лишь точка касания 0,7. Это и есть искомое решение.

    Ответ: Неравенство имеет только одно решение 0,7.

    Пример 4

    Решите квадратное неравенство x2+8·x16<0.

    Решение

    Ветви параболы направлены вниз. Дискриминант равен нулю. Точка пересечения x0=4.

    Отмечаем точку касания на оси абсцисс и рисуем параболу.

    Мы имеем дело со строгим неравенством. Следовательно, нас интересуют интервалы, на которых парабола расположена ниже оси Oх. Отметим их синим.

    Точка с абсциссой 4 не является решением, так как в ней парабола не расположена ниже оси Ox. Следовательно, мы получаем два интервала (, 4), (4, +).

    Ответ:  (, 4)(4, +) или в другой записи x4.

    Не всегда при отрицательном значении дискриминанта неравенство не будет иметь решений. Есть случаи, когда решением будет являться множество всех действительных чисел.

    Пример 5

    Решите квадратное неравенство 3·x2+1>0 графическим способом.

    Решение

    Коэффициент а положительный. Дискриминант отрицательный. Ветви параболы будут направлены вверх. Точек пересечения параболы с осью Oх нет. Обратимся к рисунку.

    Мы работаем со строгим неравенством, которое имеет знак >. Это значит, что нас интересуют промежутки, на которых парабола располагается выше оси абсцисс. Это как раз тот  случай, когда ответом является множество всех действительный чисел.

    Ответ: (, +) или так xR.

    Пример 6

    Необходимо найти решение неравенства 2·x27·x120 графическим способом.

    Решение

    Ветви параболы направлены вниз. Дискриминант отрицательный, следовательно, общих точек параболы и оси абсцисс нет. Обратимся к рисунку.

    Мы работаем с нестрогим неравенством со знаком , следовательно, интерес для нас представляют промежутки, на которых парабола располагается выше оси абсцисс. Судя по графику, таких промежутков нет. Это значит, что данное у условии задачи неравенство не имеет решений.

    Ответ: Нет решений.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,6 из 5 (8 голосов)