Основные виды выражений в алгебре

Уроки алгебры знакомят нас с различными видами выражений. По мере поступления нового материала выражения усложняются. При знакомстве со степенями они постепенно добавляются в выражение, усложняя его. Также происходит с дробями и другими выражениями.

Чтобы изучение материала было максимально удобным, это производится по определенным названиям для того, чтобы можно было их выделить. Данная статья даст полный обзор всех основных школьных алгебраических выражений.

Одночлены и многочлены

Выражения одночлены и многочлены изучаются в школьной программе, начиная с $7$ класса. В учебники были даны определения такого вида.

Если взять, к примеру число $5$, переменную $x$, степень $z^7$,тогда  произведения вида $5·x$ и $7·x·2·7·z^7$считаются одночленами. Когда берется сумма одночленов вида $5+x$ или $z^7+7+7·x·2·7·z^7$, тогда получаем многочлен.

Чтобы отличать одночлен от многочлена, обращают внимание на степени и их определения. Немаловажно понятие коэффициента. При приведении подобных слагаемых их разделяют на свободный член многочлена или старший коэффициент.

Над одночленами и многочленами чаще всего выполняются какие-то действия, после которых выражение приводится к вижу одночлена. Выполняется сложение, вычитание, умножение и деление, опираясь на алгоритм для выполнения действий с многочленами.

Когда имеется одна переменная, не исключено деление многочлена на многочлен, которые представляются в виде произведения. Такое действие получило название разложение многочлена на множители.

Рациональные (алгебраические) дроби

Понятие рациональные дроби изучаются в $8$ классе средней школы. Некоторые авторы называют их алгебраическими дробями.

Рассмотрим на примере записи рациональных дробей типа $\frac{3}{x+2}, \frac{2·a+3·b}{4}, \frac{x^2+1}{x^2-2}$ и $\frac{2^2·x+\left(-5{\displaystyle \frac{1}{5}}\right)·y^3·x}{{\displaystyle \frac{x}{2}+4}}$. Опираясь на определение, можно сказать, что каждая дробь считается рациональной дробью.

Алгебраические дроби можно складывать, вычитать, умножать, делить, возводить в степень. Подробнее это рассматривается в разделе действий с алгебраическими дробями. Если необходимо преобразовать дробь, нередко пользуются свойством сокращения и приведения к общему знаменателю.

Рациональные выражения

В школьном курсе изучается понятие иррациональных дробей, так как необходима работа с рациональными выражениями.

Рациональные выражения могут не иметь знаков, принадлежащих функции, которые приводят к иррациональности. Рациональные выражения не содержат корней, степеней с дробными иррациональными показателями, степеней с переменными в показателе, логарифмических выражений, тригонометрических функций и так далее.

Основываясь на правиле, приведенном выше, приведем примеры рациональных выражений. Из выше сказанного определения имеем, что как числовое выражение вида $\frac{1}{2}+3^4$ , так и $\frac{5,2+(-0,1{)}^2·2^{-3}}{5-\left(4{\displaystyle \frac{3}{4}}+2:12·\left(7-1\right)\right)}+\frac{7-2{\displaystyle \frac{2}{3}}}{3-{\displaystyle \frac{2}{1+0,3}}}$ считаются рациональными. Выражения, содержащие буквенные обозначения, также относят к рациональным $a^2+\frac{b^2}{3·a-0,5·b}$, с переменными вида $a·x^2+b·x+c$ и $\frac{x^2+xy-y^2}{{\displaystyle \frac{1}{2}x-1}}$.

Все рациональные выражения подразделяют на целые и дробные.

Целые рациональные выражения

Из определения имеем, что целое рациональное выражение – это и выражение, содержащее буквы, например, $а+1$, выражение, содержащее несколько переменных, например, $x^2·y^3-z+\frac{3}{2}$и $\frac{a+b}{3}$.

Выражения вида $x:(y-1)$ и $\frac{2x+1}{x^2-2x+7}-4$ не могут быть целыми рациональными, так как имеют деление на выражение с переменными.

Дробные рациональные выражения

Из определения следует, что дробные рациональные выражения могу быть $1:x, \frac{5}{x^3-y^3}+x+x^2$ и $3\frac{5}{7}-a^{-1}+\frac{a^2-(a+1)(a-2)}{2}$.

Если рассматривать выражения такого типа $(2·x-x^2):4$ и $\frac{a^2}{2}-\frac{b^3}{3}+\frac{c^4+1}{4,2}$, то дробными рациональными они не считаются, так как не имеют в знаменателе выражений с переменными.

Выражения со степенями

Для понятия приведем пример такого выражения. В них могут отсутствовать переменные, например, $2^3, {32}^{-\frac{1}{5}}+1, \frac{5^{3,5}·5^{-2}}{5^{-1,5}}$. Также характерны степенные выражения вида $3·x^3·x^{-1}+\frac{3}{x}, {\left(x·y^2\right)}^{\frac{1}{3}}$. Для того, чтобы решить их, необходимо выполнять некоторые преобразования.

Иррациональные выражения, выражения с корнями

Корень, имеющий место быть в выражении, дает ему иное название. Их называют иррациональными.

Из определения видно, что это выражения вида $\sqrt{64}, \sqrt[3]{\sqrt[4]{x-1}}+\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}-\frac{\sqrt{2}+3}{\sqrt{2}}, \frac{a+1}{\left(a^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}+2\right)}, \sqrt{x·y}, \frac{3}{x}+\sqrt{1+\frac{6}{x^2}+\frac{5}{x}}$ и $\sqrt{x+6+\sqrt[3]{x-2}}+\frac{1}{\sqrt{4x^{{\displaystyle \frac{2}{3}}}}+3}-1\frac{1}{3}$. В каждом из них имеется хотя бы один значок корня. Корни и степени связаны, поэтому можно видеть такие записи выражений, как ${\left(\sqrt[3]{x^7}\right)}^{-\frac{2}{5}}, \sqrt[5]{\frac{n^4}{8·m^3}}:\sqrt{\frac{4·m^2}{n}}+3$.

Тригонометрические выражения

Примеры тригонометрических функций очевидны: $\frac{\sin {\displaystyle \frac{\mathrm{\pi }}{4}}{\displaystyle ·}{\displaystyle \cos }{\displaystyle \frac{\mathrm{\pi }}{6}}}{\cos 6x-1}$ и $2\sin x·\left(t{g}^{2}x+3\right), \frac{4}{3}·tg\left(\mathrm{\pi }-\arcsin \left(-\frac{3}{5}\right)\right)$.

Для работы с такими функциями необходимо пользоваться свойствами, основными формулами прямых и обратных функций. Статья преобразование тригонометрических функций раскроет этот вопрос подробней.

Логарифмические выражения

После знакомства с логарифмами можно говорить о сложных логарифмических выражениях.

Примером таких функций могут быть ${\log }_{3}9+\ln e, {\log }_2(4·a·b)$, $\frac{{\log }_7^2(x·7^3)}{{\log }_{\sqrt{3}}\left(2x-{\left(\sqrt{3}\right)}^5\right)}+{\log }_{x^2+1}(x^4+2)$.

Можно встретить такие выражения, где  есть степени и логарифмы. Это итак понятно, так как из определения логарифма следует, что это является показателем степени. Тогда получаем выражения вида $x^{lg\sqrt{x}}-10, {\log }_3{\left(\sqrt{3}\right)}^{x^2+2x-3}, {\log }_{x+1}(x^2+2x+1{)}^{5x-2}$.

Для углубления изучения материала, следует обратиться к материалу о преобразовании логарифмических выражений.

Дроби

Существуют выражения особого вида, которые получили название дроби. Так как они имеют числитель и знаменатель, то они могут содержать не просто числовые значения, а также выражения любого типа. Рассмотрим определение дроби.

Примеры дробей, которые имеют числа в числителе и знаменателе, выглядят так $\frac{1}{4}, \frac{2,2}{-6{\displaystyle \frac{2}{7}}}, \frac{\mathrm{\pi }}{2}, \frac{-e}{\mathrm{\pi }}, \frac{(-15)}{(-2)}$. Числитель и знаменатель может содержать как численные, так и буквенные выражения вида $\frac{(a+1)}{3}, \frac{(a+b+c)}{(a^2+b^2)}, \frac{{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}+1}}-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}-1}}}{{\displaystyle \frac{1}{1+{\displaystyle \frac{1}{1+{\displaystyle \frac{1}{5}}}}}}}, \frac{{\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha }{1+3tg \alpha }, \frac{2+\ln 5}{\ln x}$.

Хотя такие выражения, как  $\frac{2}{5}-\frac{3}{7}, \frac{\sqrt{x}}{x^2+1}:5$ не являются дробями, однако, имеют дробь в своей записи.

Выражение общего вида

Старшие классы рассматривают задачи повышенной трудности, где собраны все комбинированные задания группы С по ЕГЭ. Эти выражения отличаются особой сложностью и различными комбинациями корней, логарифмов, степеней, тригонометрических функций. Это задания типа $\sqrt{x^2-1}·\sin \frac{x+\mathrm{\pi }}{3}$ или $\sin \left|arctg x\right|-\frac{a·\left|x\right|}{\sqrt{1+x^2}}$.

Их вид говорит о том, что можно отнести к любому из вышеперечисленных видов. Чаще всего их не относят ни к какому, так как они имеют специфичное комбинированное решение. Их рассматривают как выражения общего вида, причем для описания не используются дополнительные уточнения или выражения.

При решении такого алгебраического выражения всегда необходимо обращать внимание на его запись, наличие дроби, степеней или дополнительных выражений. Это нужно для того, чтобы точно определиться со способом его решения. Если нет уверенности в его названии, то рекомендуется называть его выражением общего типа и решать, согласно выше написанному алгоритму.