Преобразование рациональных выражений: виды преобразований, примеры

Преобразование рациональных выражений: виды преобразований, примеры

    Статья рассказывает о преобразовании рациональных выражений. Рассмотрим виды рациональных выражений, их преобразования, группировки, вынесения за скобки общего множителя. Научимся представлять дробные рациональные выражения в виде рациональных дробей.

    Определение и примеры рациональных выражений

    Определение 1

    Выражения, которые составлены из чисел, переменных, скобок, степеней с действиями сложения, вычитания, умножения, деления с наличием черты дроби, называют рациональными выражениями.

    Для примера имеем, что 5, 23·x-5, -3·a·b3-1c2+4a2+b21+a:(1-b), (x+1)·(y-2)x5-5·x·y·2-111·x3.

    То есть это такие выражения, которые не имеют деления на выражения с переменными. Изучение рациональных выражений начинается с 8 класса, где их называют дробными рациональными выражениями. Особое внимание уделяют дробям в числителе, которые преобразовывают  с помощью правил преобразования.

    Это позволяет переходить к преобразованию рациональных дробей произвольного вида. Такое выражение может быть рассмотрено как выражение с наличием рациональных дробей и целых выражений со знаками действий.

    Основные виды преобразований рациональных выражений

    Рациональные выражения используются для того, чтобы выполнять тождественные преобразования, группировки, приведение подобных, выполнение других действий с числами. Цель таких выражений – это упрощение.

    Пример 1

    Преобразовать рациональное выражение 3·xx·y-1-2·xx·y-1.

    Решение

    Видно, что такое рациональное выражение – это разность 3·xx·y-1 и 2·xx·y-1. Замечаем, что знаменатель у них идентичный. Это значит, что приведение подобных слагаемых примет вид

    3·xx·y-1-2·xx·y-1=xx·y-1·3-2=xx·y-1

    Ответ: 3·xx·y-1-2·xx·y-1=xx·y-1.

    Пример 2

    Выполнить преобразование 2·x·y4·(-4)·x2:(3·x-x).

    Решение

    Первоначально выполняем действия в скобках 3·xx=2·x. Данное выражение представляем в виде 2·x·y4·(-4)·x2:(3·x-x)=2·x·y4·(-4)·x2:2·x. Мы приходим к выражению, которое содержит действия с одной ступенью, то есть имеет сложение и вычитание.

    Избавляемя от скобок при помощи применения свойства деления. Тогда получаем, что 2·x·y4·(-4)·x2:2·x=2·x·y4·(-4)·x2:2:x.

    Группируем числовые множители с переменной x, после этого можно выполнять действия со степенями. Получаем, что

    2·x·y4·(-4)·x2:2:x=(2·(-4):2)·(x·x2:x)·y4=-4·x2·y4

    Ответ: 2·x·y4·(-4)·x2:(3·x-x)=-4·x2·y4.

    Пример 3

    Преобразовать выражение вида x·(x+3)-(3·x+1)12·x·4+2.

    Решение

    Для начала преобразовываем числитель и знаменатель. Тогда получаем выражение вида (x·(x+3)-(3·x+1)):12·x·4+2, причем действия в скобках делают в первую очередь. В числителе выполняются действия и группируются множители. После чего получаем выражение вида x·(x+3)-(3·x+1)12·x·4+2=x2+3·x-3·x-112·4·x+2=x2-12·x+2.

    Преобразуем в числителе формулу разности квадратов, тогда получаем, что

    x2-12·x+2=(x-1)·(x+1)2·(x+1)=x-12

    Ответx·(x+3)-(3·x+1)12·x·4+2=x-12.

    Представление в виде рациональной дроби

    Алгебраическая дробь чаще всего подвергается упрощению при решении. Каждое рациональное приводится к этому разными способами. Необходимо выполнить все необходимые действия с многочленами для того, чтобы рациональное выражение  в итоге смогло дать рациональную дробь.

    Пример 4

    Представить в виде рациональной дроби a+5a·(a-3)-a2-25a+3·1a2+5·a.

    Решение

    Данное выражение можно представить в виде a2-25a+3·1a2+5·a. Умножение выполняется в первую очередь по правилам.

    Следует начать с умножения, тогда получим, что

    a2-25a+3·1a2+5·a=a-5·(a+5)a+3·1a·(a+5)=a-5·(a+5)·1(a+3)·a·(a+5)=a-5(a+3)·a

    Производим представление полученного результата с исходное. Получим, что

    a+5a·(a-3)-a2-25a+3·1a2+5·a=a+5a·a-3-a-5a+3·a

    Теперь выполняем вычитание:

    a+5a·a-3-a-5a+3·a=a+5·a+3a·(a-3)·(a+3)-(a-5)·(a-3)(a+3)·a·(a-3)==a+5·a+3-(a-5)·(a-3)a·(a-3)·(a+3)=a2+3·a+5·a+15-(a2-3·a-5·a+15)a·(a-3)·(a+3)==16·aa·(a-3)·(a+3)=16a-3·(a+3)=16a2-9

    После чего очевидно, что исходное выражение примет вид 16a2-9.

    Ответ: a+5a·(a-3)-a2-25a+3·1a2+5·a=16a2-9.

    Пример 5

    Представить xx+1+12·x-11+x  в виде рациональной дроби.

    Решение

    Заданное выражение записывается как дробь, в числителе которой имеется xx+1+1, а  в знаменателе 2·x-11+x. Необходимо произвести преобразования xx+1+1. Для этого нужно выполнить сложение дроби и числа. Получаем, что xx+1+1=xx+1+11=xx+1+1·(x+1)1·(x+1)=xx+1+x+1x+1=x+x+1x+1=2·x+1x+1

    Следует, что xx+1+12·x-11+x=2·x+1x+12·x-11+x

    Получившаяся дробь может быть записана как 2·x+1x+1:2·x-11+x.

    После деления придем к  рациональной дроби вида

    2·x+1x+1:2·x-11+x=2·x+1x+1·1+x2·x-1=2·x+1·(1+x)(x+1)·(2·x-1)=2·x+12·x-1

    Можно решить это иначе.

    Вместо деления на 2·x-11+x производим умножение на обратную ей 1+x2·x-1. Применим распределительное свойство и получаем, что

    xx+1+12·x-11+x=xx+1+1:2·x-11+x=xx+1+1·1+x2·x-1==xx+1·1+x2·x-1+1·1+x2·x-1=x·1+x(x+1)·2·x-1+1+x2·x-1==x2·x-1+1+x2·x-1=x+1+x2·x-1=2·x+12·x-1

    Ответ: xx+1+12·x-11+x=2·x+12·x-1.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,4 из 5 (5 голосов)