Квадратные неравенства, примеры, решения

Квадратные неравенства, примеры, решения

    В данном разделе мы собрали информацию о квадратных неравенствах и основных подходах к их решению. Закрепим материал разбором примеров.

    Что представляет собой квадратное неравенство

    Давайте посмотрим, как по виду записи различать неравенства различных видов и выделять среди них квадратные.

    Определение 1

    Квадратное неравенство – это такое неравенство, которое имеет вид a·x2+b·x+c<0, где a, b и c – некоторые числа, причем a не равно нулю. x – это переменная, а на месте знака < может стоять любой другой знак неравенства.

    Вторым названием квадратных уравнений является название «неравенства второй степени». Объяснить наличие второго названия можно следующим образом. В левой части неравенства находится многочлен второй степени – квадратный трехчлен. Применение к квадратным неравенствам термина «квадратичные неравенства» некорректен, так как квадратичными  являются функции, которые задаются уравнениями вида y=a·x2+b·x+c.

    Приведем пример квадратного неравенства:

    Пример 1

    Возьмем 5·x23·x+1>0. В этом случае a=5, b=3 и c=1.

    Или вот такое неравенство:

    Пример 2

     2,2·z20,5·z110, где a=2,2, b=0,5 и c=11.

      Покажем несколько примеров квадратных неравенств:

    Пример 3

      Здесь  коэффициенты этого квадратного неравенства есть ; 123·x2-x+57<0, в этом случае a=123, b=-1, c=57.

    Особое внимание нужно обратить на тот факт, что коэффициент при x2 считается неравным нулю. Объясняется это тем, что иначе мы получим линейное неравенство вида b·x+c>0, так как квадратная переменная при умножении на ноль сама станет равной нулю. При этом, коэффициенты b и c могут быть равны нулю как вместе, так и по отдельности.

    Пример 4

    Пример такого неравенства x250.

    Способы решения квадратных неравенств

    Основным метода три:

    Определение 2
    • графический;
    • метод интервалов;
    • через выделение квадрата двучлена в левой части.

    Графический метод

    Метод предполагает проведение построения и анализа графика квадратичной функции y=a·x2+b·x+c для квадратных неравенств a·x2+b·x+c<0 (, >, ). Решением квадратного неравенства являются промежутки или интервалы, на которых указанная функция принимает положительные и отрицательные значения.

    Метод интервалов

    Решить квадратное неравенство с одной переменной можно методом интервалов. Метод применим для решения любого вида неравенств, не только квадратных. Суть метода в том, чтобы определить знаки промежутков, на которые разбивается ось координат нулями трехчлена a·x2+b·x+c при их наличии.

    Для неравенства a·x2+b·x+c<0 решениями являются промежутки со знаком минус, для неравенства a·x2+b·x+c>0, промежутки со знаком плюс. Если мы имеем дело с нестрогими неравенствами, то решением становится интервал, который включает точки, которые соответствуют нулям трехчлена.

    Выделение квадрата двучлена

    Принцип выделения квадрата двучлена в левой части квадратного неравенства состоит в выполнении равносильных преобразований, которые позволяют перейти к решению равносильного неравенства вида (xp)2<q (, >, ), где p и q – некоторые числа.

    Неравенства, сводящиеся к квадратным

    К квадратным неравенствам с помощью равносильных преобразований можно прийти от неравенств других видов. Сделать это можно разными способами. Например, перестановкой в данном неравенства слагаемых или переносом слагаемых из одной части в другую.

    Приведем пример. Рассмотрим равносильное преобразование неравенства 52·x3·x2. Если мы перенесем все слагаемые из правой части в левую, то получим квадратное неравенство вида 3·x22·x+50.

    Пример 5

    Необходимо найти множество решений неравенства 3·(x1)·(x+1)<(x2)2+x2+5.

    Решение

    Для решения задачи используем формулы сокращенного умножения. Для этого соберем все слагаемые в левой части неравенства, раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

    3·(x1)·(x+1)(x2)2x25<0, 3·(x21)(x24·x+4)x25<0, 3·x23x2+4·x4x25<0, x2+4·x12<0.

    Мы получили равносильное квадратное неравенство, которое можно решить графическим способом, определив дискриминант и точки пересечения.

    D=221·(12)=16, x1=6, x2=2

    Построив график, мы можем увидеть, что множеством решений является интервал (6, 2).

    Ответ: (6, 2).

    Примером неравенств, которые часто сводятся к квадратным, могут служить иррациональные и логарифмические неравенства. Так, например, неравенство 2·x2+5<x2+6·x+14

    равносильно квадратному неравенству x26·x9<0, а логарифмическое неравенство log3(x2+x+7)2  – неравенству x2+x20.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,4 из 5 (5 голосов)