Признак делимости на 8: примеры, доказательство

Признак делимости на 8, примеры, доказательство

    В статье рассматривается признак делимости на 8 с приведением его формулировки и примерами.

    Признак делимости на 8, примеры

    Формулировка звучит так: если число, составленное из последних цифр в записи целого а, делится на 8 тогда и все число делится на 8; когда число, составленное из трех последних, не делится на 8, тогда и все число не делится на число 8.

    Приведенная формулировка говорит о том, что этот признак применим только для четырехзначных, пятизначных и так далее чисел. Данный метод безопасный и удобный, так как после всего можно выполнить проверку. Установка деления на 8 производится при помощи деления выражения на 8.

    Пример 1

    Проверить, делится ли 58 296 на 8.

    Решение

    Для решения задания нужно применить признак делимости на 8. Для этого нужно взять последние 3 цифры числа и разделить столбиком на 8. Получаем, что 296 нужно делить на 8. Имеем, что

    Очевидно, что 296 поделится на 8 без остатка. Тогда заданное число полностью поделится на 8.

    Ответ: да.

    Когда последние три цифры имеют вид 024, 086, 002, 008, тогда необходимо отбросить нули и выполнять деление двузначных чисел.

    Пример 2

    При помощи признака делимости на 8 узнать, делится ли 920 072 на 8.

    Решение

    Видно, что последние три цифры записываются как 072, значит, будем иметь дело с числом 72, разделим его на 8. По признаку делимости видно, что заданное число делится на 8 без остатка.

    Пример 3

    Определить числа, которые поделятся на 8 из заданных 900 007, 21 008, 111 008 и 732 237 001 .

    Решение

    Воспользовавшись признаком делимости на 8, нужно пересмотреть все цифры, находящиеся справа числа, то есть 007, 008, 008, 001. Отсюда видно, что будем работать с числами 7, 8, 8, 1. Очевидно, что только 8 поделится само на себя, значит, из выбранных только 21008 и -111008 поделятся на 8.

    Ответ: 900 007 и 732 237 001 на 8 не делятся, а 21 008 и 111 008 делятся на 8.

    Когда записанное число имеет справа последние три цифры нули, то есть 23000, -980000, тогда очевидно, что все число делится на 8. Рассмотрим доказательство данного утверждения.

    Число 1000 можно представить как 1 000=8·125. Видно, что оно точно поделится на 8.

    Когда имеются числа, где в конце записаны 3 нуля, то очевидно, что нужно использовать правило умножения натуральных чисел на 1000, которое поможет представить а в виде a=a1·1 000. Отсюда видно, что a1 получим из числа а, когда заберем последние три цифры, расположенные справа. Очевидно, что 1000 делится на 8, тогда и выражение a1·1 000 будет делиться на 8 по свойствам делимости. Отсюда получили, что число а будет делиться на 8 без остатка.

    Теперь делимость числа на 8 доказана, когда число оканчивается на три нуля. Благодаря свойству делимости, это утверждение верно для всех натуральных а.

    Доказательство признака делимости на 8

    Для доказательства делимости на 8 необходимо использовать представление натурального числа а, то есть любое число представить в виде a=a1·1 000+a0, где a1 – это результат отбрасывания последних трех цифр, а a0 – это есть последние цифры числа а. Для полного понятия запишем, что 234 698=234·1 000+698.

    Для доказательства нужно применять свойства делимости:

    • для деления нацело числа а на b необходимо и достаточно, чтобы модель числа а делился на модуль числа b;
    • когда из равенства a=s+t все члены могут делиться  на b, тогда и заданный член делится на b.

    Переходим к доказательству признака делимости на 8 с достаточными и необходимыми условиями.

    Теорема 1

    Чтобы целое число поделилось на 8, необходимо и достаточно, чтобы число, состоящее из последних трех цифр записи числа а, делилось на 8.

    Доказательство 1

    Пусть целое число обозначим за а. Тогда модуль числа а является натуральным числом. Необходимо представить его в виде a=a1·1000+a0.

    Перейдем к доказательству необходимости. Пусть число а делится на 8. Тогда нужно составить такое число, которое будет составлено из тех последних цифр заданного числа а, делящееся на 8 Отсюда получим, что a0 делится на 8.

    Если а делится на 8, тогда и его модуль тоже, исходя из первого свойств делимости. Исходя из равенства вида a=a1·1000+a0 получим, что a1·1 000 поделится на 8, а по второму свойству делимости видно, что a0 поделится на 8 без остатка. Необходимость доказана.

    Доказательство достаточности начинается с того, что необходимо взять за a0 число, которое делится на 8. Это приведет к тому, что и число а будет делиться на 8.

    Видно, что из равенства a=a1·1000+a0 произведение вида a1·1 000 поделится на 8, что означает, a0 также будет делиться на 8. Делаем вывод, что и само число будет делиться на 8. Достаточность доказана.

    Другие случаи делимости на 8

    Не всегда возможно установить делимость на 8 сразу, так как либо число, либо выражение не представлено в явном виде. Поэтому следует предварительно выполнить несколько преобразований.

    Когда имеется буквенное выражение а, следует выяснить, будет ли выражение делиться на 8, возникают трудности. В этом случае, исходя из свойства, все выражение должно делиться на 8. Рассмотрим на примере.

    Чаще всего, если имеется произведение, лучше применять формулу бинома Ньютона.

    Пример 4

    Выяснить, делится ли выражение вида 9n+16n-9 на 8 при n являющимся натуральным числом.

    Решение

    Нужно представить 9 как 8+1 и применить формулу бинома Ньютона. Тогда получаем выражение:

    9n+16n-9=(8+1)+16n-9==(Cn0·8n+Cn1·8n-1·+...++Cnn-2·82·1n-2+Cnn-1·8·1n-1+Cnn·1n)+16n-9==(8n+Cn1·8n-1+...+Cnn-2·82+n·8+1)+16n-9==8n+Cn1·8n-1+...+Cnn-2·82+24n-8==8·(8n-1+Cn1·8n-2+...+Cnn-2·81+3n-1)

    Получили результат, который делится на 8, потому как имеется множитель в виде числа 8, причем значение в скобках равняется натуральному числу n. Отсюда получаем, что данное по условию выражение будет делиться на 8 при любому натуральном значении n.

    Ответ: да.

    Заданное выражение можно разложить на множители или оно уже задается в таком виде. Следует учитывать то, что значение выражения с n при n=8·m, n=8·m+1, , n=8·m+7, где m является целым числом, будет делиться на 8, тогда и само заданное выражение поделится на 8 при любом целом значении n.

    Пример 5

    Доказать, что выражение вида n5+7·n3 будет делиться на 8 при любом целом значении n.

    Решение

    Перейдем к разложению на множители выражения n5+7·n3=n3·(n2+7)

    Если n=8m, тогда получим, что:

    n3·(n2+7)=(8m)3·8m2+7=83·m3·(64m2+7)

    Выражение будет делиться на m без остатка при любом целом значении числа m, потому как имеется множитель вида 83, который тоже делится на 8.

    Когда n=8·m+1, получим, что

    n3·(n2+7)=(8m)3·8m2+7=(8m+1)3·(64m2+16m+8)==(8m+1)3·8·(8m2+2m+1)

    Значение такого произведения делится на 8, когда m принимает значение любого целого числа, потому как в записи имеется множитель 8.

    Таким же образом выполняется при n=8·m+2, n=8·m+3, , n=8·m+7, тогда получаем, что произведения также поделятся на 8.

    Мы доказали, что выражение, заданное по условию, будет делиться на 8 без остатка при любом целом n.

    Имеются случаи, когда необходимо применять метод математической индукции.

    Пример 6

    Доказать при помощи математической индукции, что при n, равному любому натуральному числу, выражение вида 9n+16n-9 будет делиться на 8.

    Решение

    Необходимо провести проверку при значении n=1 , чтобы исходное выражение делилось на 8 Тогда получим, что  91+16·1-9=16. Очевидно, что результат, равный 16, делится на 8 без остатка.

    Если предположить, что значение n=k, тогда выражение вида 9n+16n-9 делится на 8 и приобретает вид 9k+16k-9, который также делится на число 8.

    По заданному предположению необходимо доказать, что 9k+16k-9 поделится на 8, а исходное выражение поделится на 8 при значении n=k+1.

    Тогда получим, что:

    9k+1+16·(k+1)-9=9·9k+16k+7=9·(9k+16k-9)-128k+88==9·(9k+16k-9)-8·(16k-11)

    Видно, что полученная разность выражений вида 9·(9k+16k-9) будет делиться на 8, потому как 9k+16k-9 поделится на 8, а произведение 8·(16k-11), исходя из выше написанного, также поделится на 8, потому как имеет множитель в виде числа 8. Отсюда следует, что полученная разность поделится на 8. Видно, что  искомая делимость на 8 найдена из выражения вида 9k+1+16·(k+1)-9.

    Данный пример был решен при помощи метода математической индукции, была доказана делимость выражения 9n+16n-9 на 8 без остатка, где n является любым целым натуральным числом.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,3 из 5 (14 голосов)