Признак делимости на 9: примеры, доказательство

Признак делимости на 9, примеры, доказательство

    В данной статье будет дана формулировка признака делимости на 9 с его доказательством. Заключительным этапом будет приведение примера делимости на 9 с разным значением переменной.

    Признак делимости на 9, примеры

    Рассмотрим сам признак делимости на 9: когда сумма цифр целого числа делится на 9, тогда само число также делится на 9; когда сумма цифр не делится на 9, тогда очевидно, что и число не будет делиться на 9.

    Для того, чтобы использовать данный признак делимости, необходимо разбираться  в сложении натуральных чисел. Известно, что из простых натуральных чисел существует только число 9, которое способно поделиться на 9 без остатка, то есть подходит под выше написанное определение.

    Пример 1

    Определить, какие из приведенных чисел 621, 32 112, 222, 331 поделятся на 9 без остатка.

    Решение

    Для решения задания необходимо перейти к вычислению сумм каждого из предложенных чисел. Получаем, что 6+2+1=9, 3+2+1+1+2=92+2+2=8 и 3+3+1=7. Видно, что только 9 поделится на 9, а 8 и 7 нет. Отсюда имеем, что 621 и -32112 поделятся на 9 а 222 и -331 не поделятся.

    Ответ: 621 и 32 112.

    Бывают случаи, когда сумма цифр является трехзначным числом. Когда имеем число 945, то сумма его цифр – это 18, а сумма цифр 999888777666555 равняется 105. Тогда для установления делимости на 9 нужно применять правило несколько раз.

    Пример 2

    Определить, делится ли число 876 505 998 872 на 9.

    Решение

    Необходимо воспользоваться признаком делимости на 9. Переходим к вычислению суммы цифр заданного числа. Тогда получим, что 8+7+6+5+0+5+9+9+8+8+7+2=74. Чтобы определить, будет ли делиться 74 на 9,нужно найти сумму цифр. Тогда получаем, что 7+4=11, а 1+1=2. Отсюда следует, что 2 не поделится на 9. То есть число 74 на 9 не делится.

    Ответ: не делится.

    Чтобы проверить, будет делиться число на 9 или нет, нужно произвести деление на 9. Применение признака делимости на 9 и непосредственное деление на 9 занимает практически одно и то же время.

    Доказательство признака делимости на 9

    Чтобы доказать признак делимости на 9, нужно использовать дополнительные результаты.

    Когда разложим по рядам любое натуральное число а, правила умножения натурального числа на 10, 100, 1000 позволяет представить все при помощи записи a=an·10n+an1·10n1++a2·102+a1·10+a0, где an, an1, , a0 являются цифрами, записанных слева направо. Имеем, что 10=9+1, 100=99+1=11·9+1, 1 000=999+1=111·9+1, , тогда  число а можно представить в виде a=an·11...1·9+1+...+a2·11·9+1+a1·(1·9+1)+a0.

    Нужно преобразовать выражения до вида a=9·11...1·an+...+11·a2+1·a1+an+...+a2+a1+a0.

    Отсюда получаем, что сумма an+...+a2+a1+a0 является суммой всех цифр, входящих в состав числа а. Чтобы запись была краткой, запишем a=9·11...1·an+...+11·a2+1·a1+A. Данное преобразование числа а применяется при доказательстве признака делимости на 9.

    Используем 2 свойства делимости:

    • для возможности деления а на b нужно производить деление модуля а на модуль b;
    • при возможности деления на число b всего выражения a=s+t очевидно, что и все выражение поделится на b.

    Рассмотрим само доказательство признака делимости на 9 вместе с необходимыми и достаточными условиями.

    Теорема 1

    Для того, чтобы целое число а делилось на 9 без остатка, необходимо и достаточно, что и сумма цифр числа а делилась на 9.

    Доказательство 1

    При а=0 теорема очевидна. Если а отлично от нуля, а его модуль – это натуральное число, тогда представим его в виде суммы вида a=9·11...1·an+...+11·a2+1·a1+A, что и было представлено задолго до написания теоремы. Выражение 9·11...1·an+...+11·a2+1·a1 имеет множитель 9, а сумма скобок – это натуральное число при любых an, an1, , a1. Видно, что свойство делимости подходит для выражения. Необходимо доказать, что сумма всех цифр (A) делится на 9, тогда и само число разделится на 9.

    Если A делится на 9, тогда по равенству a=9·11...1·an+...+11·a2+1·a1+A и по второму указанному перед теоремой свойству имеем, что и модуль а будет делиться на 9. Получим, что и само число а будет делиться на 9. Достаточное свойство доказано.

    Доказательство необходимого свойства включает в себя деление на 9 числа а при делении суммы всех цифр числа а.

    Когда а будет делиться на 9, тогда и модуль числа разделится на 9. Это возможно благодаря первому свойству делимости. Из a=9·11...1·an+...+11·a2+1·a1+A и второго свойства видно, что A поделится на 9 без остатка. Необходимое свойство доказано.

    Другие случаи делимости на 9

    Рассмотрим примеры решения примеров с доказательством делимости на 9, когда имеется буквенное выражение.

    Пример 3

    Будет ли выражение 10n1  делиться на 9 при натуральном n?

    Решение

    Видим, что . То есть сумма цифр числа  равняется 9n, а 9n делится на 9 без остатка. Значит, что выражение соответствует признаку делимости при любом значении n.

    Ответ: делится.

    Имеются случаи, когда делимость на 9 нельзя определить при помощи деления на 9. Тогда выражение представляется в виде произведения нескольких множителей, где один из них делится на 9. Рассмотрим два таких способа. Решим примеры с помощью бинома Ньютона.

    Пример 4

    Определить, делится ли выражение 4n+6n-1 на 9 при любом значении n.

    Решение

    Представляем 4 в виде 3+1, используем формулу бинома Ньютона и получим:

    4n+6n-1=3+1n+6n-1==Cn0·3n+Cn1·3n-1·1+...+Cnn-2·32·1n-1+Cnn-1·3·n-1+Cnn·1n++6n-1==3n+Cn1·3n-1+...+Cnn-2·32+n·3+1+6n-1==3n+Cn1·3n-1+...+Cnn-2·32+9n

    Когда n=1, получаем, что 4n+6n-1=41+6·1-1=9. Очевидно, что 9 делится на 9. Когда значение n больше 1, тогда видно, что сумма 3n+Cn1·3n-1+...+Cnn-2·32+9n может быть упрощена при помощи выноса 9 за скобки. Получим выражение вида 9·3n-2+Cn1·3n-3+...+Cnn-2·30+n. Очевидно, что произведение поделится на 9, а значение выражения в скобке удовлетворяет условию n>1  и является натуральным числом. Отсюда имеем, что 4n+6n-1 делится на 9 при любых натуральных значениях n.

    Ответ: делится.

    Если исходное выражение c n переменной в виде многочлена, тогда используется такой способ. При доказательстве n=9·m, n=9·m+1, , n=9·m+8, где m является целым числом, а исходное выражение делится на 9, тогда очевидно, что делимость будет доказана при любом значении n.

    Пример 5

    Доказать, что n6-8n4+16n2 будет делиться на 9 при любом значении n.

    Решение

    Чтобы удобней было вычислять, нужно выражение n6-8n4+16n2 разложить на множители. тогда получим, что

    n6-8n4+16n2=n2·(n4-8n2+16)=n2·(n2-4)2==n2·(n-2)2·(n+2)2

    Пусть m будет целым числом. Отсюда имеем, что n=9·m даст выражение вида n2·(n-2)2·(n+2)2=(9m)2·(9m-2)2·(9m+2)2. Так как имеется множитель 9, то очевидно, что выражение поделится на 9.

    Если выражение вида n=9·m+1, то получим, что

    n2·(n-2)2·(n+2)2=(9m+1)2·(9m-1)2·(9m+3)2==9m+12·9m-12·9·3m+12

    Данное произведение поделится на 9, так как есть множитель 9. Таким же образом проверяется выражение вида n2·(n-2)2·(n+2)2 при n=9·m+2, n=9·m+3, , n=9·m+8

    Отсюда видно, что делимость на 9 доказана, значит, выражение делится на 9 при любом значении n.

    Рассмотрим пример при помощи метода математической индукции.

    Пример 6

    Доказать, что выражение 4n+6n-1 делится на 9 при любом значении n.

    Решение

    Чтобы доказать делимость на 9, необходимо использовать формулу математической индукции.

    Когда n=1, то выражение 4n+6n-1 равняется 9, значит и делится на 9. Если предположить, что n=k, тогда выражение запишется так 4k+6k-1. Оно тоже делится на 9.

    По предыдущему шагу понятно, что 4n+6n-1 будет делиться на число 9 при n=k+1.

    Получаем, что

    4k-1+6·(k+1)-1==4·4k+6k+5==4·(4k+6k-1)-18k+9==4·(4k+6k-1)-9·(2k-1)

    Тогда из разности вида 4·4k+6k-1 видно, что она делится на 9. Предыдущий шаг показал, что 4k+6k-1 делится на 9 также, как и 9·(2k-1). Отсюда получаем, что вся разность поделится на 9. Можно говорить о том, что выражение 4n+6n-1 при n=k+1 будет делиться на 9.

    Данное задание было решено при помощи метода математической индукции. Получили в результате, что заданное выражение поделится на 9 при любом целом значении n.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,8 из 5 (14 голосов)