Признак делимости на 4: примеры, доказательство

Признак делимости на 4: примеры, доказательство

    Приступим к рассмотрению темы «Признак делимости на 4». Приведем здесь формулировку признака, проведем его доказательство, рассмотрим основные примеры задач. В конце раздела мы собрали сведения о подходах, которые можно применять в тех случаях, когда нам нужно доказать делимость чисел на 4, заданных буквенным выражением.

    Признак делимости на 4, примеры

    Мы можем пойти простым путем и поделить однозначное натуральное число на 4 для того, чтобы проверить, делится ли это число на 4 без остатка. Так же можно поступить с двузначными, трехзначными и проч. числами.  Однако, чем больше становятся числа, тем сложнее проводить с ними действия с целью проверки делимости их на 4.

    Гораздо проще становится использовать признак делимости на 4. Он предполагает проведение проверки делимости одной или двух последних цифр целого числа на 4. Что это значит? Это значит, что некоторое число a делится на 4 в том случае, если одна или две крайние правые цифры в записи числа a делятся на 4. Если число, составленное из двух крайних правых цифр в записи числа a не делятся на 4 без остатка, то и число a не делится на 4 без остатка.

    Пример 1

    Какие из чисел 98 028, 7 612 и 999 888 777 делятся на 4?

    Решение

    Крайние правые цифры чисел 98 028, 7 612 составляют числа 28 и 12, которые делятся на 4 без остатка. Это значит, что и целые числа − 98 028, 7 612​​​​​​ ​делятся на 4 без остатка.

    Последние две цифры в записи числа 999 888 777 образуют число 77, которое не делится на 4 без остатка. Это значит, что и исходное число на 4 без остатка не делится.

    Ответ: 98 028 и 7 612.

    Если предпоследней цифрой в записи числа является 0, то нам необходимо этот ноль отбросить и смотреть на оставшуюся крайнюю правую цифру в записи. Получается, что две цифры 01 мы заменяем 1. И уже по одной оставшейся цифре мы делаем вывод о том, делится ли исходное число на 4.

    Пример 2

    Делится ли числа 75 003 и 88 108 на 4?

    Решение

    Две последние цифры числа 75 003 - видим 03. Если отбросить ноль, то у нас остается цифра 3, которая на 4 без остатка не делится. Это значит, что исходное число 75 003 на 4 без остатка не делится.

    Теперь возьмем две последние цифры числа 88 108. Это 08, из которых мы должны оставить лишь последнюю цифру 8. 8 делится на 4 без остатка.

    Это значит, что и исходное число 88 108 мы можем поделить на 4 без остатка.

    Ответ: 75 003 не делится на 4, а 88 108 – делится.

    Числа, у которых в конце записи идет сразу два нуля, также делятся на 4 без остатка. Например, 100 делится на 4, получается 25. Доказать правдивость этого утверждения нам позволяет правило умножения числа на 100.

    Представим произвольно выбранное многозначное число a, запись которого справа заканчивается двумя нулями, как произведение a1·100, где число a1 получается из числа a, если в его записи справа отбросить два нуля. Например, 486700=4867·100.

    Произведение a1·100 содержит множитель 100, который делится на 4. Это значит, что все приведенное произведение делится на 4.

    Доказательство признака делимости на 4

    Представим любое натуральное число a в виде равенства a=a1·100+a0, в котором число a1 – это число a, из записи которого убрали две последние цифры, а число a0 – это две крайние правые цифры из записи числа a. Если использовать конкретные натуральные числа, то равенство будет иметь вид 75846=758·100+46. Для одно- и двузначных чисел a=a0.

    Определение 1

    Теперь обратимся к свойствам делимости: 

    • деление модуля числа a на модуль числа b необходимо и достаточно для того, чтобы целое число a делилось на целое число b;
    • если в равенстве a=s+t все члены, кроме одного делятся на некоторое целое число b, то и этот оставшийся член делится на число b.

    Теперь, освежив в памяти необходимые свойства делимости, переформулируем доказательство признака делимости на 4 в виде необходимого и достаточного условия делимости на 4.

    Теорема 1

    Деление двух последних цифр в записи числа a на 4 – это необходимое и достаточное условие для делимости целого числа a на 4.

    Доказательство 1

    Если предположить, что a=0, то теорема в доказательстве не нуждается. Для всех остальных целых чисел a мы будем использовать модуль числа a, который является числом положительным:a=a1·100+a0

    С учетом того, что произведение a1·100 всегда делится на 4, а также с учетом свойств делимости, которые мы привели выше, мы можем сделать следующее утверждение: если число a делится на 4, то и модуль числа a делится на 4, тогда из равенства a=a1·100+a0 следует, что a0 делится на 4. Так мы доказали необходимость.

    Из равенства a=a1·100+a0 следует, что модуль a делится на 4. Это значит, что и само число a делится на 4. Так мы доказали достаточность.

    Другие случаи делимости на 4

    Рассмотрим случаи, когда нам нужно установить делимость на 4 целого числа, заданного некоторым выражением, значение которого надо вычислить. Для этого мы можем пойти следующим путем:

    • представить исходное выражение в виде  произведения нескольких множителей, один из которых будет делиться на 4;
    • сделать вывод на основании свойства делимости о том, что все исходное выражение делится на
      4.

    Помочь в решении задачи часто помогает формула бинома Ньютона.

    Пример 3

    Делится ли на 4 значение выражения 9n-12n+7 при некотором натуральном n?

    Решение

    Мы можем представить 9 в виде суммы 8+1. Это дает нам возможность применить формулу бинома Ньютона:

    9n-12n+7=8+1n-12n+7==Cn0·8n+Cn1·8n-1·1+...+Cnn-2·82·1n-2+Cnn-1·8·1n-1+Cnn·1n--12n+7==8n+Cn1·8n-1·1+...+Cnn-2·82+n·8+1--12n+7==8n+Cn1·8n-1·1+...+Cnn-2·82-4n+8==4·2·8n-1+2·Cn1·8n-2+...+2·Cnn-2·81-n+2

    Произведение, которое мы получили в ходе преобразований, содержит множитель 4, а выражение в скобках представляет собой натуральное число. Это значит, что это произведение можно разделить на 4 без остатка.

    Мы можем утверждать, что исходное выражение 9n-12n+7 делится на 4 при любом натуральном n.

    Ответ: Да.

    Также мы можем применить к решению задачи метод математической индукции. Чтобы не отвлекать ваше внимание на второстепенные детали разбора решения, возьмем прежний пример.

    Пример 4

    Докажите, что 9n-12n+7 делится на 4 при любом натуральном n.

    Решение

    Начнем с установления того, что при значении n=1 значение выражения 9n-12n+7
    можно будет разделить на 4 без остатка.

    Получаем: 91-12·1+7=4. 4 делится на 4 без остатка.

    Теперь мы можем предположить, что при значении n=k значение выражения
    9n-12n+7 будет делиться на 4. Фактически, мы будем работать с выражением 9k-12k+7, которое должно делиться на 4.

    Нам необходимо доказать, что 9n-12n+7 при n=k+1 будет делиться на 4 с учетом того, что 9k-12k+7​​​​​ делится на 4:

    9k+1-12(k+1)+7=9·9k-12k-5=9·9k-12k+7+96k-68==9·9k-12k+7+4·24k-17

    Мы получили сумму, в которой первое слагаемое 9·9k-12k+7 делится на 4 в связи с нашим предположением о том, что 9k-12k+7 делится на 4, а второе слагаемое 4·24k-17 содержит множитель 4, в связи с чем также делится на 4. Это значит, что вся сумма делится на 4.

    Ответ: мы доказали, что 9n-12n+7 делится на 4 при любом натуральном значении n методом математической индукции.

    Мы можем использовать еще один подход для того, чтобы доказать делимость некоторого выражения на 4. Этот подход предполагает:

    • доказательство факта того, что значение данного выражения с переменной n делится на 4 при n=4·m, n=4·m+1, n=4·m+2 и n=4·m+3, где m – целое число;
    • вывод о доказанности делимости данного выражения на 4 для любого целого числа n.
    Пример 5

    Докажите, что значение выражения n·n2+1·n+3·n2+4 при любом целом n делится на 4.

    Решение

    Если предположить, что n=4·m, получаем:

     4m·4m2+1·4m+3·4m2+4=4m·16m2+1·4m+3·4·4m2+1

    Полученное произведение содержит множитель 4, все остальные множители представлены целыми числами. Это дает нам основание предполагать, что все произведение делится на 4.

    Если предположить, что n=4·m+1, получаем:

    4m+1·4m+12+1·4m+1+3·4m+12+4==(4m·1)+4m+12+1·4m+1·4m+12+4

    И опять в произведении, которое мы получили в ходе преобразований,
    содержится множитель 4.

    Это значит, что выражение делится на 4.

    Если предположить, что n=4·m+2, то:

    4m+2·4m+22+1·4m+2+3·4m+22+4==2·2m+1·16m2+16m+5·(4m+5)·8·(2m2+2m+1)

    Здесь в произведении мы получили множитель 8, который можно без остатка поделить на 4. Это значит, что все произведение делится на 4.

    Если предположить, что n=4·m+3, получаем:

    4m+3·4m+32+1·4m+3+3·4m+32+4==4m+3·2·8m2+12m+5·2·2m+3·16m2+24m+13==4·4m+3·8m2+12m+5·16m2+24m+13

    Произведение содержит множитель 4, значит делится на 4 без остатка.

    Ответ: мы доказали, что исходное выражение делится на 4 при любом n.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,3 из 5 (18 голосов)