Признак делимости на 3: примеры, доказательство

Признак делимости на 3: примеры, доказательство

    Приступим к рассмотрению темы «Признак делимости на 3». Начнем с формулировки признака, приведем доказательство теоремы.  Затем рассмотрим основные подходы к установлению делимости на 3 чисел, значение которых задано некоторым выражением. В разделе приведен разбор решения основных типов задач, основанных на применении признака делимости на 3.

    Признак делимости на 3, примеры

    Формулируется признак делимости на 3 просто: целое число будет делиться на 3 без остатка, если сумма входящих в его состав цифр делится на 3. Если суммарное значение всех цифр, которые входят в состав целого числа, на 3 не делится, то и само исходное число на 3 не делится. Получить сумму всех входящих в целое число цифр можно с помощью сложения натуральных чисел.

    Теперь рассмотрим примеры применения признака делимости на 3.

    Пример 1

    Делится ли на 3 число -42?

    Решение

    Для того, чтобы ответить на этот вопрос, сложим все цифры, входящие в состав числа -42: 4+2=6.

    Ответ: согласно признаку делимости, раз сумма цифр, входящих с восстав исходного числа, делится на три, то и само исходное число делится на 3.

    Для того, чтобы ответить на вопрос о том, делится ли на 3 число 0, нам понадобится свойство делимости, согласно которому нуль делится на любое целое число. Получается, что нуль делится на три.

    Существуют задачи, для решения которых прибегать в признаку делимости на 3 необходимо несколько раз.

    Пример 2

    Покажите, что число 907 444 812 делится на 3.

    Решение

    Найдем сумму всех цифр, которые образуют запись исходного числа: 9+0+7+4+4+4+8+1+2=39. Теперь нам нужно определить, делится ли на 3 число 39. Еще раз складываем цифры, входящие в состав этого числа: 3+9=12. Нам осталось провести сложение цифр еще раз для того, чтобы получить окончательный ответ: 1+2=3. Число 3 делится на 3

    Ответ: исходное число 907 444 812 также делится на 3.

    Пример 3

    Делится ли на 3 число 543 205?

    Решение

    Посчитаем сумму цифр, входящих в состав исходного числа: 5+4+3+2+0+5=19. Теперь посчитаем сумму цифр полученного числа: 1+9=10. Для того, чтобы получить окончательный ответ, найдем результат еще одного сложения: 1+0=1.
    Ответ: единица на 3 не делится, значит и исходное число на 3 не делится.

    Для того, чтобы определить, делится ли данное число на 3 без остатка, мы можем провести деление данного числа на 3. Если разделить число 543 205 из рассмотренного выше примера столбиком на три, то в ответе мы не получим целого числа. Это точно также значит, что 543 205 на 3 без остатка не делится.

    Доказательство признака делимости на 3

    Здесь нам понадобятся следующие навыки: разложение числа по разрядам и правило умножения на 10, 100 и т.д. Для того, чтобы провести доказательство, нам необходимо получить представление числа a вида a=an·10n+an-1·10n-1++a2·102+a1·10+a0, где an, an1, , a0 – это цифры, которые располагаются слева направо в записи числа.

    Приведем пример с использованием конкретного числа: 528=500+20+8=5·100+2·10+8.

    Запишем ряд равенств: 10=9+1=3·3+1, 100=99+1=33·3+1, 1 000=999+1=333·3+1 и проч.

    А теперь подставим эти равенства вместо 10, 100 и 1000 в равенства, приведенные ранее a=an·10n+an-1·10n-1++a2·102+a1·10+a0.

    Так мы пришли к равенству:

    a=an·10n++a2·100+a1·10+a0==an·33....3·3+1++a2·33·3+1+a1·3·3+1+a0

    А теперь применим свойства сложения и свойства умножения натуральных чисел для того, чтобы переписать полученное равенство следующим образом:

    a=an·33...3·3+1+...++a2·33·3+1+a1·3·3+1+a0==3·33...3·an+an+...++3·33·a2+a2+3·3·a1+a1+a0==3·33...3·an+...++3·33·a2+3·3·a1++an+...+a2+a1+a0==3·33...3·an++33·a2+3·a1++an+...+a2+a1+a0

    Выражение an+...+a2+a1+a0 - это сумма цифр исходного числа a. Введем для нее новое краткое обозначение А. Получаем: A=an+...+a2+a1+a0.

    В этом случае представление числа a=3·33...3·an+...+33·a2+3·a1+A  принимает такой вид, который нам будет удобно использовать для доказательства признака делимости на 3.

    Определение 1

    Теперь вспомним следующие свойства делимости: 

    • необходимым и достаточным условием для того, чтобы целое число a делилось на целое число
      ​​​​​​b, является условие, по которому модуль числа a делится на модуль числа b;
    • если в равенстве a=s+t все члены, кроме какого-то одного, делятся на некоторое целое число b, то и этот один член делится на b.

    Мы заложили основу для того, чтобы провести доказательство признака делимости на 3. Теперь же сформулируем этот признак в виде теоремы и докажем ее.

    Теорема 1

    Для того, чтобы утверждать, что целое число a делится на 3, нам необходимо и достаточно, чтобы сумма цифр, которая образует запись числа a, делилась на 3.

    Доказательство 1

    Если взять значение a=0, то теорема очевидна.

    Если ы возьмем число a, отличное от нуля, то модуль числа a будет натуральным числом. Это позволяет нам записать следующее равенство:

    a=3·33...3·an+...+33·a2+3·a1+A , где A=an+...+a2+a1+a0 - сумма цифр числа a.

    Так как сумма и произведение целых чисел есть целое число, то 
    33...3·an+...+33·a2+3·a1 - целое число, тогда по определению делимости произведение 3·33...3·an+...+33·a2+3·a1  делится на 3 при любых a0, a1, , an.

    Если сумма цифр числа a делится на 3, то есть, A делится на 3, то в силу свойства делимости, указанного перед теоремой, a  делится на 3, следовательно, a делится на 3. Так доказана достаточность.

    Если a делится на 3, то и a  делится на 3, тогда в силу того же свойства делимости число
    A делится на 3, то есть, сумма цифр числа a делится на 3. Так доказана необходимость.

    Другие случаи делимости на 3

    Целые числа могут быть заданы как значение некоторого выражения, которое содержит переменную, при определенном значении этой переменной. Так, при некотором натуральном n значение выражения  4n+3n-1 является натуральным числом. В этом случае непосредственное деление на 3 не может дать нам ответ на вопрос, делится ли число на 3. Применение признака делимости на 3 также может быть затруднено. Рассмотрим примеры таких задач и разберем методы их решения.

    Для решения таких задач может быть применено несколько подходов. Суть одного из них заключается в следующем:

    • представляем исходное выражение как произведение нескольких множителей;
    • выясняем, может ли хотя бы один из множителей делиться на 3;
    • на основе свойства делимости делаем вывод о том, что все произведение делится на 3.

    В ходе решения часто приходится прибегать к использованию формулы бинома Ньютона.

    Пример 4

    Делится ли значение выражения 4n+3n-1 на 3 при любом натуральном n?

    Решение

    Запишем равенство 4n+3n-4=(3+1)n+3n-4. Применим формулу бинома Ньютона бинома Ньютона:

    4n+3n-4=(3+1)n+3n-4==(Cn0·3n+Cn1·3n-1·1+...++Cnn-2·32·1n-2+Cnn-1·3·1n-1+Cnn·1n)++3n-4==3n+Cn1·3n-1·1+...+Cnn-2·32+n·3+1++3n-4==3n+Cn1·3n-1·1+...+Cnn-2·32+6n-3

    Теперь вынесем 3 за скобки:3·3n-1+Cn1·3n-2+...+Cnn-2·3+2n-1. Полученное произведение содержит множитель 3, а значение выражения в скобках при натуральных n представляет собой натуральное число. Это позволяет нам утверждать, что полученное произведение и исходное выражение 4n+3n-1 делится на 3.

    Ответ: Да.

    Также мы можем применить метод математической индукции.

    Пример 5

    Докажите с использованием метода математической индукции, что при любом натуральном
    n значение выраженияn·n2+5 делится на 3.

    Решение

    Найдем значение выражения n·n2+5 при n=1: 1·12+5=6. 6 делится на 3.

    Теперь предположим, что значение выражения n·n2+5 при  n=k делится на 3. Фактически, нам придется работать с выражением k·k2+5 , которое, как мы ожидаем, будет делиться на 3.

    Учитывая, что k·k2+5 делится на 3, покажем, что значение выражения n·n2+5 при n=k+1 делится на 3, то есть, покажем, что k+1·k+12+5 делится на 3.

    Выполним преобразования:

    k+1·k+12+5==(k+1)·(k2+2k+6)==k·(k2+2k+6)+k2+2k+6==k·(k2+5+2k+1)+k2+2k+6==k·(k2+5)+k·2k+1+k2+2k+6==k·(k2+5)+3k2+3k+6==k·(k2+5)+3·k2+k+2

    Выражение k·(k2+5) делится на 3 и выражение 3·k2+k+2 делится на 3, поэтому их сумма делится на 3.

    Так мы доказали, что значение выражения n·(n2+5) делится на 3 при любом натуральном n.

    Теперь разберем подход к доказательству делимости на 3, которых основан на следующем алгоритме действий:

    • показываем, что значение данного выражения с переменной n при n=3·m, n=3·m+1 и n=3·m+2, где m – произвольное целое число, делится на 3;
    • делаем вывод о том, что выражение будет делиться на 3 при любом целом n.

    Для того, чтобы не отвлекать внимание от второстепенных деталей, применим данный алгоритм к решению предыдущего примера.

    Пример 6

    Покажите, что n·(n2+5)  делится на 3 при любом натуральном n.

    Решение

    Предположим, что n=3·m. Тогда: n·n2+5=3m·3m2+5=3m·9m2+5 . Произведение, которое мы получили, содержит множитель 3, следовательно само произведение делится на 3.

    Предположим, что n=3·m+1. Тогда:

    n·n2+5=3m·3m2+5=(3m+1)·9m2+6m+6==3m+1·3·(2m2+2m+2)

    Произведение, которое мы получили, делится на 3.

    Предположим, что n=3·m+2. Тогда:

    n·n2+5=3m+1·3m+22+5=3m+2·9m2+12m+9==3m+2·3·3m2+4m+3

    Это произведение также делится на 3.

    Ответ: Так мы доказали, что выражение n·n2+5 делится на 3 при любом натуральном n.

    Пример 7

    Делится ли на 3 значение выражения 103n+102n+1  при некотором натуральном n.

    Решение

    Предположим что n=1. Получаем:

    103n+102n+1=103+102+1=1000+100+1=1104

    Если посчитать сумму цифр полученного числа, то получим 3. Это позволяет нам утверждать, что полученное число делится на 3.

    Предположим, что n=2. Получаем:

    103n+102n+1=106+104+1=1000 000+10000+1=1010001

    Если посчитать сумму цифр этого числа, то мы снова получаем три. Это позволяет нам утверждать, что полученное число делится на 3.

    Так мы можем сделать вывод, что при любом натуральном n мы будем получать числа, которые делятся на 3. Это значит, что 103n+102n+1 при любом натуральном n делится на 3.

    Ответ: Да

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,5 из 5 (9 голосов)