Числовые, буквенные выражения и выражения с переменными: определения, примеры

Числовые, буквенные выражения и выражения с переменными: определения, примеры

    В математике принято использовать свои обозначения. Запись условий задач с их помощью приводит к появлению так называемых математических выражений. Можно говорить про числовые, буквенные  выражения и математические выражения с переменными. Для удобства и одни, и вторые и третьи называются просто выражениями. В этой статье мы дадим определения и по порядку рассмотрим каждый тип математических выражений.

    Числовые выражения

    С самый первых уроков математики школьники начинают знакомство с числовыми выражениями. Выражение содержит числа, и действия над этими числами. Возьмем простейшие примеры для счета: 5+2; 3-8; 1+1. Все это - числовые выражения. Если выполнить действия, указанные в выражении, то получится его значение.

    Конечно, числовые выражения содержат не только знаки "плюс" и "минус". Они могут включать деление и умножение, содержать скобки, степени, корни, логарифмы и состоять из нескольких действий.

    Учитывая все сказанное, дадим определение. Что такое числовое выражение?

    Определение. Числовое выражение

    Числовые выражения - это комбинация чисел, арифметических действий, знаков дробных черт, корней, логарифмов, тригонометрических и других функций, а также скобок и иных математических символов. 

    Числовым выражением считается только та комбинация, которая составлена с учетом математических правил.

    Поясним данное определение.

    Во-первых, числа. Математическое выражение может содержать любые числа. Это значит, что в математическом выражении можно встретить:

    • натуральные числа: 6, 173, 9,
    • целые числа: 18, 0, 64,
    • рациональные числа:
      обыкновенные дроби 13, 34,
      смешанные числа 618, 8957,
      периодические и непериодические десятичные дроби 9,78, 8,556
    • иррациональные числа: π, e
    • комплексные числа: i=-1.

    Во-вторых, арифметические действия. то известные нам еще из курса начальной школы сложение, умножение, вычитание и деление. Знаки "+""-""·" и "÷" могут присутствовать в выражении не один раз. Вот пример такого числового выражения: 12+4-3+3÷1·8·6÷2.

    деление в выражениях может присутствовать как в виде знака, так и в виде дробной черты. 

    Скобки в числовых выражениях

    • указывают порядок выполнения действий: 5-2,5+5*0,25;
    • используются для записи отрицательных чисел: 5+(-2);
    • отделяют аргумент функции: sinπ2-π3;
    • отделяют показатель степени: 2-1,32

    Есть и специальные значения для записи скобок. Например, запись 1,75+2 означает, что к целой части числа 1,75прибавляется число 2

    Согласно определению,  числовые выражения могут содержать степени, корни, логарифмы, тригонометрические и обратные тригонометрическим функции. Приведем пример такого числового выражения: 

    В качестве примера использования в числовых выражениях специальных знаков, можно привести знак модуля. 

    -225·6+-5-8·2

    Буквенные выражения

    После знакомства с числовыми выражениями можно вводить понятие буквенных выражений. Интуитивно понятно, что в них вместо чисел используются буквы. Но обо всем по порядку. 

    Запишем числовое выражение, но вместо одного числа оставим пустой квадратик.

    3+

    В квадратик мы можем вписать любое число. Например, 2, или 1032.

    3+2; 3+1032.

    Если условится записывать вместо числа в квадратике букву a, означающую данное число, то мы получим буквенное выражение:

    3+a

    Определение. Буквенное выражение

    Выражение, в котором буквы заменяняют некоторые цифры, называется буквенным выражением. Буквенное выражение должно содержать по крайней мере одну букву.

    Принципиальная разница числового и буквенного выражений в том, что первое не может содержать букв. В буквенных выражениях чаще всего используются маленькие буквы латинского алфавита a, b, c.. или маленькие греческие буквы α, β, γ.. и т.д.

    Приведем пример сложного буквенного выражения.

    x3+2-4·x5+4xy+8y238-4x2·arccosα+13x2+2y-1

    Выражения с переменными

    В рассмотренных выше буквенных выражениях буква обозначала какое-то конкретное числовое значение. Величина, которая может принимать ряд различных значений, называется переменной. Выражение с такой величиной, соответственно, называются выражением с переменной.

    Определение. Выражения с переменными

    Выражение с переменной - выражение, в котором все или некоторые буквы обозначают величины, принимающие различные значения.

    Пусть переменная x  принимает натуральные значения из интервала от 0 до 10. Тогда выражения x2-1 есть выражение с переменной, а x - переменная в этом выражении.

    В выражении может быть не одна, а несколько переменных. Например, при переменных x и yвыражение x3·y+y22-1 представляет собой выражение с двумя переменными.

    Вообще буквенные выражения и выражения с переменными позволяют посмотреть на задачу вне контекста конкретных чисел, то есть более широко. Они широко используются в математическом анализе для формулировок и доказательств.

    Внешний вид буквенного выражения не позволяет узнать, являются входящие в него буквы переменными, или нет. Для этого нужно знать условия конкретной задачи, описываемой выражением. Вне контекста ничто не мешает считать входящие в выражение буквы переменными. Таким образом, разница между понятиями "буквенное выражение" и "выражение с переменными" нивелируется.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter