Умножение, сложение, вычитание и деление целых чисел: основные свойства
Мы помогаем студентам с дипломными, курсовыми, контрольными Узнать стоимость

Умножение, сложение, вычитание и деление целых чисел: основные свойства

    Умножение, сложение, вычитание и деление - основные операции с целыми числами. Результаты этих операций с любыми целыми числами обладают рядом характеристик. Иначе говоря, операции умножения, сложения, вычитания и деления целых чисел обладают свойствами. Данная статья посвящена рассмотрению основных свойств умножения, сложения, вычитания и деления целых чисел.

    Сложение целых чисел. Основные свойства

    Все свойства сложения натуральных чисел оказываются справедливы и для целых чисел. Ведь множество целых чисел ℤ включает в себя множество натуральных чисел . Приведем ниже основные свойства сложения.

    Коммутативное свойство сложения

    Переместительное (коммутативное свойство) или переместительный закон.

    От перемены мест слагаемых сумма не меняется

    a+b=b+a

     Согласно этому свойству, справедливо равенство:

    35+251=251+35

    Свойство коммутативности работает вне зависимости от знака.

    -528+3700=3700+-528

    Ассоциативное свойство сложения

    Сочетательное (ассоциативное свойство) или сочетательный закон. 

    Сложение целого числа с суммой двух целых чисел эквивалентно сложению суммы двух первых чисел с третьим.

    a+b+c=a+b+c

    Примечание: данное свойство применимо и для большего количества слагаемых.

    Вот несколько примеров. Согласно свойству ассоциативности справедливы равенства:

    64+81+(-49)=64+81+(-49)=64+81+(-49);

    (128+(-75))+96=128+((-75)+96).

    Свойства сложения, связанные с числом 0

    1. Число нуль - нейтральный по сложению элемент.

    Прибавление нуля к любому целому числу не меняет этого числа.

    a+0=a

    2. Сумма любого целого числа и противоположного ему числа равна нулю.

    a+(-a)=0

    Умножение целых чисел. Основные свойства

    Как и в случае со сложением, все свойства умножения натуральных чисел переносятся на целые числа.

    Для умножения также действуют переместительный и сочетательный (коммутативный и ассоциативный) законы.

    Переместительное свойство умножения

    От перемены мест множителей произведение не меняется.

    a·b=b·a

    Приведем пример. Очевидно, что произведение целых чисел 2·3 эквивалентно произведению 3·2.

    Сочетательное свойство умножения

    Сочетательное свойство для умножения эквивалентно сочетательному свойству сложения. В буквенном виже оно записывается следующим образом:

    a·(b·c)=(a·b)·c

    a, b, c - произвольные целые числа.

    Примечание: данное свойство применимо и для большего количества множителей.

    В соответствии с этим свойством можно говорить о справедливости следующих равенств:

    -12·3·8=-12·3·8;

    119·((-251)·36)=(119·(-251))·36.

    Умножение числа на нуль

    Результатом умножения любого целого числа на нуль является число нуль.

    a·0=0

    Справедливо и обратное: произведение двух целых чисел a и b равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

    a·b=0 если a=0 или b=0.

    Умножение числа на единицу

    Умножение любого целого числа на единицу дает в результате это число. Иными словами, умножение на единицу не изменяет умножаемое число.

    a·1=a

    Распределительное свойство умножения относительно суммы.

    Произведение целого числа a на сумму двух чисел b и c равно сумме произведений a·b и a·c.

    a·(b+c)=a·b+a·c

    Данное свойство часто используется при упрощении выражений, одновременно содержащих как операции сложения, так и умножения.

    В совокупности с ассоциативным свойством и распределительным законом можно легко расписать произведение целого числа на сумму из более чем трех слагаемых, а также произведение сумм.

    Вычитание целых чисел. Основные свойства

    Вычитание - действие, обратное сложению. Число c является разностью двух чисел a и b тогда, когда сумма b+c равна a. Можно сказать, что разность чисел a и b - это сумма чисел a и -b. Свойства вычитания являются следствием свойств сложения и умножения.

    Основные свойства вычитания
    1. Вычитание чисел не обладает переместительным свойством за исключением случая, когда a=ba-bb-a.
    2. Разность целых чисел, равных друг другу: a-a=0.
    3. Вычитание суммы двух чисел из другого числа: a-(b+c)=a-b-c.
    4. Вычитание целого числа из суммы: a+b-c=a-c+b=a+(b-c).
    5. Распределительное свойство умножения относительно вычитания: a·(b-c)=a·b-a·c.

    Деление целых чисел. Основные свойства

    Деление - операция, обратная умножению. Число c называется частным от деления чисел a и b, когда произведение b·c равно a. Запишем основные свойства деления целых чисел.

    Основные свойства деления
    1. Деление на нуль невозможно.
    2. Деление нуля на число: 0a=0.
    3. Деление равных чисел: aa=1.
    4. Деление на единицу: a1=a.
    5. Для деления переместительное свойства не выполняется: abba.
    6. Деление суммы и разности на число: a±bc=ac±bc.
    7. Деление произведения на число: a·bc=ac·b, если a делится на ca·bc=a·bс, если b делится на ca·bc=a·bс=ac·b, если a и b делятся на c.
    8. Деление числа на произведение: ab·c=ab·1c=ac·1b.
    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,3 из 5 (10 голосов)