Основные свойства действий с рациональными числами
Мы помогаем студентам с дипломными, курсовыми, контрольными Узнать стоимость

Основные свойства действий с рациональными числами

    Данная статья посвящена обзору свойств действий с рациональными числами. Сначала рассмотрены основные свойства, а затем - те свойства, которые базируются на основных свойствах. 

    Действия с рациональными числами. Основные свойства

    Все свойства действий с рациональными числами базируются на основе свойств действий с целыми числами. Пусть a, b, c, d - некоторые произвольные рациональные числа. Перечисли оcновные свойства действий с ними.

    1. Коммутативное свойство сложения. Оно еще называется коммутативным или переместительным законом. a+b=b+a.
    2. Сочетательное свойство, или сочетательный закон сложения. a+(b+c)=(a+b)+c.
    3. Ноль - нейтральный элемент по сложению. Сложение нуля с любым числом не изменяет это число. a+0=a.
    4. Для любого рационального числа a существует такое противоположное число -a, что a+(-a)=0.
    5. Коммутативный (переместительный) закон умножения рациональных чисел. a·b=b·a.
    6. Сочетательный закон умножения.a·b·c=a·(b·c).
    7. Единица - нейтральный элемент по умножению. Умножение любого числа на единицу не изменяет этого числа. a·1=a.
    8. Для любого рационального числа a, отличного от ноля, существует такое обратное число a-1, что a·a-1=1.
    9. Распределительное свойство умножения относительно сложения. a·(b+c)=a·b+a·c.

    Перечисленные выше свойства - основные свойства действий с рациональными числами. Остальные свойства являются следствием основных свойств.

    Другие свойства рациональных чисел

    Кратко рассмотрим иные, наиболее часто используемые свойства действий с рациональными числами.

    Умножение рациональных чисел с разными знаками. a·(-b)=-(a·b) или (-a)·b=-(a·b)

    Умножение отрицательных рациональных чисел. (-a)·(-b)=a·b

    Умножение произвольного числа на ноль. a·0=0. Остановимся на доказательстве этого свойства. Пусть d - любое рациональное число. Справедливым будет равенство 0=d+(-d), которое можно переписать так: a·0=a·(d+(-d)). Теперь перепишем равенство с учетом распределительного свойства:

    a·0=a·d+a·(-d)a·d+a·(-d)=a·d+(-a·d)

    Сумма двух противоположных чисел a·d и (-a·d) дает ноль. Что и требовалось доказать.

    Рассмотренные выше свойства - свойства умножения и сложения. Свойства вычитания и деления задаются как обратные свойства соответственно к сложению и умножению. Так, разность двух чисел a-b можно записать в виде суммы a+(-b), а частное ab есть не что иное, как произведение a·b-1.

    С учетом свойств умножения и сложения можно доказать любые свойства действий с рациональными числами. Для примера, возьмем распределительное свойство умножения относительно вычитания:

    a·(b-c)=a·b-a·ca·(b-c)=a·(b+(-c))=a·b+a·(-c)=a·b+(-a·c)=a·b-a·c

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,2 из 5 (5 голосов)