Вычитание натуральных чисел: свойства, примеры

Операции вычитания между любыми натуральными числами присущ ряд особенностей, называемых свойствами. В данной статье мы рассмотрим основные свойства натуральных чисел и приведем разъясняющие примеры.

Свойство вычитания равных натуральных чисел

Это самое простое свойство. Число ноль указывает на отсутствие чего либо. Если из множества каких-то объектов вычесть такое же множество объектов, получится ноль. Например, у Пети было 15 яблок, он решил угостить Машу и отдал ей все 15 штук. Теперь у Пети ноль яблок.

Переместительный закон (не выполняется для вычитания)

Известно, что при сложении чисел от перемены мест слагаемых сумма не меняется. Так же, как и при умножении произведение не меняется при перестановке множителей. Эта особенность называется переместительным, или коммутативным законом. Однако при вычитании коммутативный закон работает только в одном случае: когда вычитаемое число равно уменьшаемому. 

В случаях, когда уменьшаемое число становится меньше вычитаемого, теряется сам смысл вычитания натуральных чисел. Например: 

$38-21 \text{очевидно, не равно} 21-38$

В общем виде можно записать это так: $a-b\ne b-a$.

Вычитание суммы двух чисел из натурального числа

Сформулируем свойство, а затем рассмотрим пример, который даст глубокое понимание и поможет осмыслить сказанное.

Обратимся к примеру. У Пети и у Васи было по 8 монет. Петя сразу купил напиток за две монеты и конфету за одну монету. Вася сначала купил напиток, а потом подумал, и тоже купил конфету. В итоге, у обоих осталось по пять монет. Операции с монетами Пети и Васи можно соответственно записать так:

$$\begin{gathered} 8-(2+1)=5 \\ (8-2)-1=5 \end{gathered}$$

Важно отметить, что данная операция для натуральных чисел имеет смысл только тогда, когда уменьшаемое число больше или равно сумме чисел, которые из него вычитают.

В соответствии с рассмотренным свойством и сочетательным законом, можно вычитать из натурального числа сумму двух, трех и более чисел.

Вычитание числа из суммы

Представим, что у Родиона в одном кармане 3 конфеты, а в другом - 5 конфет. 2 конфеты он обещал отдать Зухре. Какими способами может Родион отдать Зухре конфеты?

Во-первых, можно все конфеты переложить в один карман и оттуда уже достать 2 штуки. Останется конфет: $\left(3+5\right)-2.$

Во-вторых, можно сразу достать две конфеты из первого кармана. Останется конфет: $3+\left(5-2\right)$.

Наконец, в-третьих, можно достать две конфеты из второго кармана. В итоге имеем: $5+(3-2)$.

Количество конфет в итоге остается неизменным и справедливы равенства:

$3+\left(5-2\right)=5+(3-2)=(3+5)-2$.

Теперь можно сформулировать правило вычитания числа из суммы других натуральных чисел.

Если выполняется условие $b\ge c$, можно записать $(a+b)-c=a+(b-c)$.

При $a\ge c$ и $b\ge c$ оба равенства можно переписать в виде $(a+b)-c=(a-c)+b=a+(b-c)$.

Свойство вычитания натурального числа из суммы трех и более чисел формулируется аналогично и вытекает из свойства вычитания числа из суммы двух чисел. 

Рассмотрим пример.