Взаимно обратные числа: как найти, что это такое

Взаимно обратные числа, нахождение обратного числа.

    Дадим определение и приведем примеры взаимно обратных чисел. Рассмотрим, как находить число, обратное натуральному числу и обратное обыкновенной дроби. Помимо этого, запишем и докажем неравенство, отражающее свойство суммы взаимно обратных чисел.

    Взаимно обратные числа. Определение

    Определение. Взаимно обратные числа

    Взаимно обратные числа - такие числа, произведение которых дает единицу.

    Если a·b=1, то можно сказать, что число a обратно числу b, так же как и число b обратно числу a.

    Самый простой пример взаимно обратных чисел - две единицы. Действительно, 1·1=1, поэтому a=1 и b=1 - взаимно обратные числа. Другой пример - числа 3 и 13-23 и -32,  613 и 136log317 и log173. Произведение любой пары указанных выше чисел равно единице. Если это условие не выполняется, как например у чисел 2 и 23, то числа не являются взаимно обратными.

    Определение взаимно обратных чисел справедливо для любый чисел - натуральных, целых, действительных и комплексных.

    Как найти число, обратное данному

    Рассмотрим общий случай. Если исходное число равно a, то обратное ему число запишется в виде 1a, или a-1. Действительно, a·1a=a·a-1=1.

    Для натуральных чисел и обыкновенных дробей найти обратное число довольно просто. Можно сказать, даже очевидно. В случае нахождения числа, обратного иррациональному или комплексному числу, придется произвести ряд вычислений.

    Рассмотрим наиболее часто встречающиеся на практике случаи нахождения обратного числа.

    Число, обратное обыкновенной дроби

    Очевидно, что число, обратное обыкновенной дроби ab - это дробь ba. Итак, чтобы найти обратное дроби число, дробь нужно просто перевернуть. То есть, поменять числитель и знаменатель местами.

    Согласно этому правилу, записать обратное любой обыкновенной дроби число можно практически сразу. Так, для дроби 2857 обратным числом будет дробь 5728, а для дроби 789256 - число  256789.

    Число, обратное натуральному числу

    Найти число, обратное любому натуральному числу, можно так же, как и число, обратное дроби. Достаточно представить натуральное число a в виде обыкновенной дроби a1. Тогда обратным ему числом будет число 1a. Для натурального числа 3 обратным ему числом будет дробь 13, для числа 666 обратное число равно 1666, и так далее.

    Отдельное внимание стоит уделить единице, так как это единственное число, обратное число для которого равно ему самому.

    Других пар взаимно обратных чисел, где обе составляющие равны, не существует. 

    Число, обратное смешанному числу

    Смешанное число имеем вид abc. Чтобы найти обратное ему число, необходимо смешанное число представить в сиде неправильной дроби, и уже для полученной дроби подобрать обратное число.

    Например, найдем обратное число для 725. Сначала представим 725 в виде неправильной дроби: 725=7·5+25=375.

    Для неправильной дроби 375 обратным числом будет дробь 537.

    Число, обратное десятичной дроби

    Десятичная дробь также можно представить в виде обыкновенной дроби. Нахождение обратного десятичной дроби числа сводится к представлению десятичной дроби в виде обыкновенной дроби и нахождению обратного числа для нее. 

    Например, есть дробь 5,128. Найдем обратное ей число. Сначала переводим десятичную дробь в обыкновенную: 5,128=51281000=532250=516125=641125. Для полученной дроби обратным числом будет дробь 125641.

    Рассмотрим еще один пример.

    Пример. Нахождение числа, обратного десятичной дроби

    Найдем обратное число для периодической десятичной дроби 2,(18)

    Переводим десятичную дробь в обыкновенную:

    2,18=2+18·10-2+18·10-4+...=2+18·10-21-10-2=2+1899=2+211=2411

    После перевода можем легко записать обратное число для дроби 2411. Этим числом, очевидно, будет 1124.

    Для бесконечной и непериодической десятичной дроби обратное число записывается в виде дроби и единицей в числителе и самой дробью в знаменателе. Например, для бесконечной дроби 3,6025635789... обратное число будет иметь вид 13,6025635789....

    Аналогично и для иррациональных чисел, отвечающим непериодическим бесконечным дробям, обратные числа записываются в виде дробных выражений.

    К примеру, обратным числом для π+3380 будет 80π+33, а для числа 8+е2+е обратным числом будет дробь 18+е2+е.

    Взаимно обратные числа с корнями

    Если вид двух чисел отличен от a и 1a, то не всегда можно легко определить, являются ли числа взаимно обратными. Это особенно актуально для чисел, которые имеют в своей записи знак корня, так как от корня обычно принято избавляться в знаменателе. 

    Обратимся к практике.

    Пример. Взаимно обратные числа с корнями

    Ответим на вопрос: являются ли взаимно обратными числа 4-23 и 1+32.

    Чтобы узнать, являются ли числа взаимно обратными, вычислим их произведение.

    4-23·1+32=4-23+23-3=1

    Произведение равно единице, значит, числа взаимно обратны.

    Рассмотрим еще один пример.

    Пример. Взаимно обратные числа с корнями

    Запишите число, обратное числу 53+1.

    Сразу можно записать, что обратное число равно дроби 153+1. Однако, как мы уже говорили, принято избавляться от корня в знаменателе. Чтобы сделать это умножим числитель и знаменатель на 253-53+1. Получим:

    153+1=253-53+153+1·253-53+1=253-53+1533+13=253-53+16

    Взаимно обратные числа со степенями

    Допустим, есть число, равное какой-то степени числа a. Другими словами, число a, возведенное в степень n. Обратным числу an будет число  a-n. Проверим это. Действительно: an·a-n=an1·1an=1.

    Пример. Взаимно обратные числа со степенями

    Найдем обратное число для 5-3+4.

    Согласно написанному выше, искомое число равно 5--3+4=53-4

    Взаимно обратные числа с логарифмами

    Для логарифма числа a по основанию b обратным является число, равное логарифму числа b по основанию a

    logab и logba - взаимно обратные числа.

    Проверим это. Из свойств логарифма следует, что logab=1logba, значит logab·logba.

    Пример. Взаимно обратные числа с логарифмами

    Найти число, обратное log35-23.

    Числом, обратным логарифму числа 3 по основанию 35-2 будет логарифм числа 35-2 по основанию 3.

    Число, обратное комплексному числу

    Как уже отмечалось ранее, определение взаимно обратных чисел справедливо не только для действительных чисел, но и для комплексных. 

    Обычно комплексные числа представляют в алгебраическом виде z=x+iy. Числом, обратным данному, будет дробь 

    1x+iy.  Для удобства можно сократить это выражение, умножив числитель и знаменатель на x-iy.

    Пример. Число, обратное комплексному числу

    Пусть есть комплексное число z=4+i. Найдем число, обратное ему.

    Число, обратное z=4+i, будет равно 14+i.

    Умножим числитель и знаменатель на 4-i и получим:

    14+i=4-i4+i4-i=4-i42-i2=4-i16-(-1)=4-i17.

    Помимо алгебраической формы, комплексное число может быть представлено в тригонометрической или показательной форме следующим образом:

    z=r·cosφ+i·sinφ

    z=r·ei·φ

    Соответственно, обратное число будет иметь вид:

    1rcos(-φ)+i·sin(-φ)

    или

    1rei(-φ)

    Убедимся в этом:

    r·cosφ+i·sinφ·1rcos(-φ)+i·sin(-φ)=rrcos2φ+sin2φ=1r·ei·φ·1rei·(-φ)=rre0=1

    Рассмотрим примеры с представлением комплексных чисел в тригонометрической и показательной форме.

    Пример. Найти число, обратное комплексному числу

    Найдем число, обратное для 23cosπ6+i·sinπ6.

    Учитывая, что r=23, φ=π6, запишем обратное число

    32cos-π6+i·sin-π6

    Пример. Найти число, обратное комплексному числу

    Какое число будет обратным для 2·ei·-2π5.

    Ответ: 12·ei2π5

    Сумма взаимно обратных чисел. Неравенство

    Существует теорема о сумме двух взаимно обратных чисел.

    Сумма взаимно обратных чисел

    Сумма двух положительных и взаимно обратных чисел всегда больше или равна 2.

    Приведем доказательство теоремы. Как известно, для любых положительных чисел a и b среднее арифметическое больше или равно среднему геометрическому. Это можно записать в виде неравенства:

    a+b2a·b

    Если вместо числа b взять число, обратное a, неравенство примет вид:

    a+1a2a·1aa+1a2

    Что и требовалось доказать.

    Приведем практический пример, иллюстрирующий данное свойство.

    Пример. Найти сумму взаимно обратных чисел

    Вычислим сумму чисел 23 и обратного ему числу.

    23+32=4+96=136=216

    Как и говорит теорема, полученное число больше двух.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,7 из 5 (6 голосов)