Энтропия идеального газа

Энтропия идеального газа

    В этой статье мы расскажем, что такое энтропия идеального газа и в чем заключается ее физический смысл. Начнем с определения.

    Определение 1

    Энтропия – это функция состояния системы (S) с дифференциалом в бесконечном обратимом процессе, равным dS=δQT.

    Параметр δQ обозначает элементарное тепло, которое сообщается системе. Соответственно, T – это общая температура системы.

    Если у системы в обратимом процессе изменяется знак энтропии, то это говорит о смене направления обмена теплом. Основная формула дает нам возможность найти, на сколько изменилась величина энтропии. Важно подчеркнуть, что она будет верной только в том случае, если процесс будет обратим.

    В чем состоит физический смысл энтропии

    Свойства идеального газа таковы, что с их помощью удобно пояснять физический смысл энтропии. Допустим, у нас есть один моль некоторого газа, для которого мы можем записать первое правило термодинамики (в дифференциальной форме):

    δQ=dU+pdV.

    Выполним деление левой и правой части выражения на температуру. У нас получится, что:

    δQT=dUT+pdVT=cμVdTT+pdVT.

    Здесь cμV=i2R. С помощью уравнения Менделеева-Клайперона мы можем выразить из него pT и получить:

    pV=RTpT=RV.

    Подставляем это в исходное выражение:

    δQT=cмVdTT+RdVV=dcмVlnT+RlnV.

    Правая часть уравнения у нас получилась полностью дифференциальной, значит, и слева тоже должен быть полный дифференциал. Назовем его dS. С помощью одной из приведенных выше формул вычислим S в изотермическом процессе. Если температура остается постоянной, то и внутренняя энергия системы также остается прежней. Получаем следующее:

    dS=RdlnV(1)(2)dS=R(1)(2)dlnV=S2-S1=RlnV2V1.

    Нам известно, что объем, занимаемый газом в равновесном состоянии, связан с количеством пространственных микросостояний частиц формулой Г0=N!N-n! (Г0 – общее количество микросостояний, N – количество ячеек, в которые помещены частица системы, n – общее количество частиц). Поскольку исходный объем идеального газа равен одному молю, то n=NA. Выведем формулу объемов V1 и V2 из выражения выше. Она будет иметь следующий вид:

    Г01=N1!N1-NA!, Г02=N2!N2-NA!.

    Здесь N1=V1l3, N1=V2l3, l=10-10 м.

    Для дальнейших преобразований нам потребуется формула Стирлинга (для больших n, n!N2N1NA=V2V1NA):

    Г02Г01N2N1NA=V2V1NA.

    Берем логарифм от этого выражения и получаем:

    lnV2V1=1NAlnГ02Г01.

    Таким образом, S2-S1=RlnV2V1=RNAlnГ02Г01=klnГ02-klnГ01.

    Здесь параметр k обозначает постоянную Больцмана.

    Формула Больцмана

    Сам вид формулы энтропии говорит нам о том, что она может быть определена через логарифм числа микросостояний, образующих макросостояние, рассматриваемое как S=klnГ.

    Выведенное выше равенство называется формулой Больцмана. Она позволяет сделать вывод, что чем больше упорядоченность системы, тем меньше в ней микросостояний, с помощью которых достигается макросостояние. Поэтому энтропия является мерой упорядоченности системы. Максимальная энтропия достигается в состоянии упорядоченности.

    Энтропия является аддитивной величиной. При S=const процесс называется изоэнтропийным. Если система является физически однородной, то ее энтропия выражается как функция двух независимых параметров состояния (масса считается постоянной).

    Пример 1

    Условие: есть идеальный газ, в котором происходит изотермическое расширение, при этом объем меняется от V1 до V1. При этом температура системы в первом процессе равна T1, а во втором T2, причем вторая температура меньше, чем первая. Определите, как будет меняться значение энтропии.

    Решение

    Зная основное определение энтропии и обратимость процессов в идеальном газе, мы можем использовать формулу для вычисления S при постоянной температуре.

    S=(1)(2)δQT=1T(1)(2)δQ.

    Идеальный газ в физике – это понятие, подразумевающее, что мы можем пренебречь взаимодействием между его молекулами. Если V=const, то работа идеального газа равна 0.

    Обратимся к первому правилу термодинамики, зная, что при постоянной температуре dU=0:

    δQ=pdV.

    Выражаем давление из уравнения Менделеева-Клайперона:

    pV=νRTp=vRTV.

    Подставляем в исходную формулу и получаем:

    S=1T(1)(2)нRTVdV=RTнT(1)(2)dVV=vRlnV2V1

    Ответ: поскольку не существует зависимости энтропии от температуры в изотермическом процессе, то в заданных условиях оба процесса будут иметь одинаковую энтропию.

    Пример 2

    Условие: на рисунке схематично обозначены обратимые процессы. Сопоставьте, какие количества теплоты будут поглощаться системой в ходе обеих процессов.

    Решение

    Данная задача решается на основе определения энтропии для обратимых процессов.

    dS=δQT.

    Выражаем показатель δQ из уравнения, выведенного ранее, и получаем:

    δQ=TdS.

    Для определения объема подведенного к системе тепла нам нужно проинтегрировать выражение:

    Q=S1S2TdS.

    Теперь, используя геометрическое свойство интеграла (по площади) и рисунок, мы можем подытожить, что площадь, ограниченная кривой процесса, изоэнтропами, перпендикулярными S, и осью S, больше площади для процесса 2, значит, QI>QII.

    Ответ: в первом процессе поглощается большее количество теплоты, чем в во втором.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,9 из 5 (5 голосов)