Абсолютная и относительная влажность воздуха

Найдите давление насыщенного пара при значении температуры $T$, давлении в одну атмосферу, если масса влажного воздуха при относительной влажности $\beta$ в объеме $V$ эквивалентна $m$ в точно таких же условиях.

Решение

В качестве основы решения применим закон Дальтона, который в случае смеси газов, а в нашей задачи имеет место быть смесь сухого воздуха с водяным паром, будет выглядеть следующим образом:

$p=p_v+p_{H_{2}O}$,

где $p_v$ определяет собой давление сухого воздуха, а $p_{H_{2}O}$ является давлением паров воды. При этом масса смеси равна:

$m=m_v+m_{H_{2}O}$,

где $m_v$ представляет собой массу сухого воздуха, а $m_{H_{2}O}$— массу водяного пара. Применим уравнение Менделеева - Клайперона и запишем его для составляющей —сухой воздух в следующем виде:

$p_{v}V=\frac{m_v}{{\mu }_v}RT$,

где ${\mu }_v$ является молярной массой воздуха, $T$ определяет температуру воздуха, $V$ - объем воздуха. Для водяного пара, приняв его в качестве идеального газа, запишем уравнение состояния:

$p_{H_{2}O}V=\frac{m_{H_{2}O}}{{\mu }_{H_{2}O}}RT$,

в котором ${\mu }_{H_{2}O}$ является молярной массой пара, $T$ представляет собой температуру пара, а $V$ - объем пара. Относительная влажность эквивалентна следующему выражению:

$\beta =\frac{p_{H_{2}O}}{p_{np}}·100\%$,

где $p_{np}$ обозначает величину давления насыщенного пара. Из формулы $\beta =\frac{p_{H_{2}O}}{p_{np}}·100\%$ выразим давление насыщенного пара, получим:

$p_{np}=\frac{p_{H_{2}O}}{\beta }·100\%$.

Из $m=m_v+m_{H_{2}O}$ выразим массу сухого воздуха, в результате получим следующее выражение: $m_v=m-m_{H_{2}O}$.

Из $p=p_v+p_{H_{2}O}$ выразим давление сухого воздуха, благодаря чему получим:

$p_v=p-p_{H_{2}O}$.

Подставим выражения $m_v=m-m_{H_{2}O}$ и $p_v=p-p_{H_{2}O}$ в $p_{v}V=\frac{m_v}{{\mu }_v}RT$, на выходе получим:

$\left(p-p_{H_{2}O}\right)V=\frac{\left(m-m_{H_{2}O}\right)}{{\mu }_v}RT$.

Выразим массу пара из $p_{H_{2}O}V=\frac{m_{H_{2}O}}{{\mu }_{H_{2}O}}RT$, получаем:

$m_{H_{2}O}=\frac{V·p_{H_{2}O}·{\mu }_{H_{2}O}}{RT}$.

Выразим давление пара $p_{H_{2}O}$ применяя выражения $\left(p-p_{H_{2}O}\right)V=\frac{\left(m-m_{H_{2}O}\right)}{{\mu }_v}RT$ и $m_{H_{2}O}=\frac{V·p_{H_{2}O}·{\mu }_{H_{2}O}}{RT}$, получим:

$$\begin{gathered} \left(p-p_{H_{2}O}\right)V=\frac{\left(m-{\displaystyle \frac{V·p_{H_{2}O}·{\mu }_{H_{2}O}}{RT}}\right)}{{\mu }_v}RT\to pV{\mu }_v-p_{H_{2}O}V{\mu }_v=mRT-V·p_{H_{2}o}·{\mu }_{H_{2}O}\to \\ V·p_{H_{2}O}·{\mu }_{H_{2}O}-p_{H_{2}O}V{\mu }_v=mRT-pV{\mu }_v\to p_{H_{2}O}=\frac{mRT-pV{\mu }_v}{V·{\mu }_{H_{2}O}-V{\mu }_v}. \end{gathered}$$

Пользуемся выражением $p_{np}=\frac{p_{H_{2}O}}{\beta }·100\%$, в качестве результата выходит давление насыщенного пара:

$p_{np}=\frac{100}{\beta }·\frac{mRT-pV{\mu }_v}{V·{\mu }_{H_{2}O}-V{\mu }_v}$.

Ответ: Давление насыщенного пара при заданных условиях равно: $p_{np}=\frac{100}{\beta }·\frac{mRT-pV{\mu }_v}{V·{\mu }_{H_{2}O}-V{\mu }_v}$.

При температуре $T_1$ влажность воздуха равна ${\beta }_1$. Каким образом изменится влажность воздуха в случае, если величина его температуры его стала $T_2 (T_2>T_1)$? Объем сосуда, в котором располагался газ уменьшить в $n$ раз.

Решение

В задаче необходимо найти изменение, другими словами разность β2−β1, относительных влажностей в конечном и начальном состояниях:

$∆\beta ={\beta }_2-{\beta }_1={\beta }_1\left(\frac{{\beta }_2}{{\beta }_1}-1\right)$,

применяя определение относительной влажности запишем следующее выражение:

${\beta }_1=\frac{p_1}{p_{np1}}100\%$,

${\beta }_2=\frac{p_2}{p_{np2}}100\%$.

в котором $p_{np}$ представляет собой давление насыщенного пара в соответствующих состояниях, $p_1$ является величиной, определяющей давление водяного пара в начальном состоянии, $p_2$ — давление пара в конечном состоянии. Подставим ${\beta }_1=\frac{p_1}{p_{np1}}100\%$, ${\beta }_2=\frac{p_2}{p_{np2}}100\%$ в $∆\beta ={\beta }_2-{\beta }_1={\beta }_1\left(\frac{{\beta }_2}{{\beta }_1}-1\right)$ и в качестве результата получим:

$∆\beta ={\beta }_1\left(\frac{{\displaystyle \frac{p_2}{p_{n{p}_2}}}}{{\displaystyle \frac{p_1}{p_{n{p}_1}}}}-1\right)={\beta }_1\left(\frac{p_2{p}_{np1}}{p_1{p}_{np2}}-1\right)$.

Так как по условию задачи нам известны температуры состояний системы, то давления насыщенного пара ($p_{np1}$и $p_{np2}$) мы можем определить как известные в приведенном случае, по той причине, что всегда можем получить их из соответствующих справочных таблиц. Для нахождения давлений $p_1$ и $p_2$ применим уравнение Менделеева — Клайперона, обратим внимание на то, что количество вещества в процессах, которые происходят в системе не претерпевает никаких изменений, в этом случае запишем:

$p_1{V}_1=vR{T}_1$ для состояния $1$, $p_2{V}_2=vR{T}_2$ для состояния $2$ в таком случае:

$\frac{p_2{V}_2}{p_1{V}_1}=\frac{T_2}{T_1}$.

Исходя из условий задачи, можно заявить, что объем уменьшили в $n$ раз, соответственно:

$\frac{V_2}{V_1}=\frac{1}{n}$.

Таким образом, выражение $\frac{p_2{V}_2}{p_1{V}_1}=\frac{T_2}{T_1}$ запишется в следующем виде: $\frac{p_2}{p_{1}n}=\frac{T_2}{T_1}\to \frac{p_2}{p_1}=n\frac{T_2}{T_1}$.

Подставим $\frac{p_2}{p_{1}n}=\frac{T_2}{T_1}\to \frac{p_2}{p_1}=n\frac{T_2}{T_1}$ в $∆\beta ={\beta }_1\left(\frac{{\displaystyle \frac{p_2}{p_{n{p}_2}}}}{{\displaystyle \frac{p_1}{p_{n{p}_1}}}}-1\right)={\beta }_1\left(\frac{p_2{p}_{np1}}{p_1{p}_{np2}}-1\right)$, на выходе получим:

$∆\beta ={\beta }_1\left(n\frac{T_2}{T_1}\frac{p_{np1}}{p_{np2}}-1\right)$.

Ответ: При заданных процессах, относительная влажность воздуха изменится на $∆\beta ={\beta }_1\left(n\frac{T_2}{T_1}\frac{p_{np1}}{p_{np2}}-1\right)$.