Поток вектора магнитной индукции

Поток вектора магнитной индукции

    Определение 1

    Магнитный поток Φ через площадку S (поток вектора магнитной индукции) – это скалярная величина:

    Φ=BScos α=BnS=BS с углом между n и B, обозначаемым α, n является нормалью к площадке S.

    Формула магнитного потока

    Φ равняется количеству линий магнитной индукции, пересекающих площадку S, как показано на рисунке 1. Поток магнитной индукции по формуле принимает положительные и отрицательные значения. Его знак зависит от выбора положительного направления нормали к площадке S. Зачастую положительное направление нормали связано с направлением обхода контура током. За такое направление берут поступательное перемещение правого винта во время его вращения по току.

    Рисунок 1

    В чем измеряется магнитный поток

    В случае неоднородности магнитного поля S не будет плоской, а плоскость может быть разбита на элементарные площадки dS, рассматриваемые в качестве плоских, поле которых также считается однородным. Определение магнитного потока dΦ производится через эту поверхность. Запись примет вид:

    dΦ=BdScos α=BdS.

    Нахождение полного потока через поверхность S:

    Φ=SBdScos α=SBdS.

    Основной единицей измерения магнитного потока в системе СИ считаются веберы (Вб). 1 Вб=1 Тл1 м2.

    Связь магнитного потока и работы сил магнитного поля

    Элементарная работа δA, совершаемая силами магнитного поля, выражается через элементарное изменение потока вектора магнитной индукции dΦ:

    δA=IdΦ.

    Если проводник с током совершает конечное перемещение, сила тока постоянна, то работа сил поля равняется:

    A=IΦ2-Φ1 с Φ1, обозначаемым потоком через контур в начале перемещения, Φ2 является  потоком через контур в конце перемещения.

    Теорема Гаусса для магнитного поля

    Значение суммарного магнитного потока через замкнутую поверхность S равняется нулю:

    BdS=0.

    Выражение BdS=0 является справедливым для любых магнитных полей. Данное уравнение считается аналогом теоремы Остроградского-Гаусса в электростатике в вакууме:

    EdS=qε0.

    Запись BdS=0 говорит о том, что источник магнитного поля – это не магнитные заряды, а электрические токи.

    Пример 1

    Дан бесконечно длинный прямой проводник с током I, недалеко от которого имеется квадратная рамка. По ней проходит ток с силой I'. Сторона рамки равна a. Она располагается в одной плоскости с проводом, как показано на рисунке 2. Значение расстояния от ближайшей стороны рамки до проводника равняется b. Найти работу магнитной силы при удалении рамки из поля. Считать токи постоянными.

    Рисунок 2

    Решение

    Индукция магнитного поля длинного проводника с током в части, где расположена квадратная рамка, направляется на нас.

    Следует учитывать нахождение рамки с током в неоднородном поле, что означает убывание магнитной индукции при удалении от провода.

    За основу возьмем формулу магнитного потока и работы, которая их связывает:

    A=I'Φ2-Φ1 (1.1), где I' принимают за силу тока в рамке, Φ1 – за поток через квадратную рамку при расстоянии от ее стороны к проводу равняющимся b. Φ2=0. Это объясняется тем, что конечное положение рамки вне магнитного поля, как дано по условию. Отсюда следует, запись формулы (1.1) изменится:

    A=-I'Φ1 (1.2).

    Перейдем к нормали n и выберем ее направление к квадратному контуру относительно нас, используя правило правого винта. Отсюда следует, что для всех элементов поверхности, ограниченной при помощи контура квадратной рамки, угол между нормалью n и вектором B равняется π. Запись формулы потока через поверхность рамки на расстоянии х от провода примет вид:

    dΦ=-BdS=-B·a·dx=-μ02πIldxx (1.3), значение индукции магнитного поля бесконечно длинного проводника с током силы I будет:

    B=μ02πxIl (1.4).

    Отсюда следует, что для нахождения всего потока из (1.3) потребуется:

    Φ1=S-μ02πIldxx=-μ02πIlbb+adxx=-μ02πIl·lnb+ab (1.5).

    Произведем подстановку формулы (1.5) в (1.2). Искомая работа равняется:

    A=I'μ02πIl·lnb+ab.

    Ответ: A=μ02πII'l·lnb+ab.

    Пример 2

    Найти силу, действующую на рамку, из предыдущего примера.

    Решение

    Для нахождения искомой силы, действующей на квадратную рамку с током в поле длинного провода, предположим, что под воздействием магнитной силы рамка смещается на незначительное расстояние dx. Это говорит о совершении силой работы, равной:

    δA=Fdx (2.1).

    Элементарная работа δA может быть выражена как:

    δA=I'dΦ (2.2).

    Произведем то же с силой, применяя формулы (2.1), (2.2). Получаем:

    Fdx=I'dΦF=I'dΦdx (2.3).

    Используем выражение, которое было получено в примере 1:

    dΦ=-μ02πIldxxdΦdx=-μ02πIlx (2.4).

    Произведем подстановку dΦdx в (2.3). Имеем:

    F=I'μ02πIlx (2.5).

    Каждый элемент контура квадратной рамки находится под воздействием сил (силы Ампера). Отсюда следует, что на рамку действует 4 силы, причем на стороны AB и DC равные по модулю и противоположные по направлению. Выражение принимает вид:

    FAB+FDC=0 (2.6), то есть их сумма равняется нулю. Тогда значение результирующей силы, приложенной к контуру, запишется:

    F=FAD+FBC (2.6).

    Используя правило левой руки, получаем направление этих сил вдоль одной прямой в противоположные стороны:

    F=FAD-FBC (2.7).

    Произведем поиск силы FAD, действующей на сторону AD, применив формулу (2.5), где x=b:

    FAD=I'м02πIlb (2.8).

    Значение FBC будет:

    FBC=I'μ02πIlb+a (2.9).

    Для нахождения искомой силы:

    F=I'μ02πIlb-I'μ02πIlb+a=II'μ0l2π1b-1b+a.

    Ответ: F=II'μ0l2π1b-1b+a. Магнитные силы выталкивают рамку с током до тех пор, пока она находится в первоначальной ориентации относительно поля провода.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,6 из 5 (11 голосов)