Закон электромагнитной индукции Фарадея и его формулировка в дифференциальной форме

Закон электромагнитной индукции Фарадея и его формулировка в дифференциальной форме

    Фарадей был первым, кто обнаружил явление электромагнитной индукции. Это случилось в ходе опыта, когда он исследовал изменение потока магнитной индукции в замкнутом проводнике и выявил, что при этом вырабатывается электрический ток. Определение направления ЭДС индукции осуществляется согласно правилу, сформулированному Ленцем.

    Определение 1

    Направление индукционного потока препятствует изменению магнитного потока через создаваемое им поле.

    Определение 2

    Нейман определил закон электромагнитной индукции математически, и этой формулировкой мы пользуемся по сей день: εi=-dΦdt.

    В нем не учитываются возможные движения контура. Соотношение dΦdt является выражением полной скорости изменения потока индукции, который охватывается проводником при его движении и деформации, а также при изменениях магнитного поля.

    Закон Фарадея для электромагнитной индукции очень важен, поскольку он является выражением нового физического явления: когда магнитное поле изменяется, оно порождает электрическое, т.е. электрическое поле может возникать не только при помощи электрических зарядов. Здесь необходимо учитывать одно важное замечание:

    Определение 3

    Движение магнитов может порождать электрический ток даже при неподвижных проводниках.

    Электромагнитная индукция является одним из фундаментальных природных законов, устанавливающим связь между магнитным или электрическим полями.

    Закон Фарадея в дифференциальной форме

    Чтобы сформулировать закон Фарадея в такой форме, нам потребуется вспомнить несколько базовых формул.

    1. ЭДС индукции: εi=-υBl.
    2. Магнитный поток: Φ=SBndS.
    3. Теорема Стокса: l=adl=SrotnadS.

    Используя данные выражения, мы можем записать следующую формулу:

    C(Edl)=S(n rot E)dS=-1cSnBtdS.

    Здесь S обозначает поверхность, натянутую на контур S. Поскольку значение S является произвольным, то мы можем записать:

    Определение 4

    rot E=-1cBt.

    Это и есть дифференциальная форма закона Фарадея, которая описывает возникновение электрического поля в точке при изменении магнитного поля в том же месте. Само поле при этом называется индукционным.

    Определение 5

    Индукционное поле не является потенциальным, в отличие от электростатического, а работа по перемещению заряда в нем по замкнутому контуру не является нулевой.

    Задачи на применение закона Фарадея

    Пример 1

    Условие: проволочный контур помещен в магнитное поле. В нулевой момент времени он пронизывает поток магнитной индукции, равный Φ1 и уменьшающийся после этого до 0. Найдите величину заряда, проходящего по цепи.

    Решение

    Начнем с определения мгновенного значения ЭДС. Это можно сделать с помощью формулы:

    εi=-dΦdt.

    Вспомним закон Ома. Согласно ему, мгновенное значение силы тока может быть записано в следующем виде:

    I=-1RdΦdt.

    Полное сопротивление цепи здесь обозначено буквой R.

    Для нахождения заряда, идущего по цепи, нам пригодится выражение:

    q=Idt.

    Поставим эти выражения в нужную формулу и получим:

    q=-1RΦ10dΦ=ΦR.

    Автором этой формулы является Фарадей. Он эмпирически подтвердил прямую пропорциональность величины заряда, идущего по цепи, количеству линий магнитной индукции, пересекающей проводник, и его обратную пропорциональность величине сопротивления в цепи.

    Ответ: q=ΦR.

    Пример 2

    Условие: квадратная рамка со стороной a помещена в одну плоскость с проводником, сила тока которого равна l. Она движется поступательно с постоянной скоростью v в направлении, обозначенное на иллюстрации ниже. Вычислите ЭДС индукции как функцию εi от расстояния x.

    Рисунок 1

    Решение

    Найти ответ можно с помощью закона Фарадея.

    εi=-dΦdt.

    Для получения искомой функции Ei(x) нам нужно построить функцию Ф(x). Бесконечный проводник с током создает магнитное поле, которое может быть выражено так:

    B=μ0I2πr.

    Расстояние до точки рассмотрения здесь обозначено буквой r.

    Для решения нам нужно также выделить площадь рамки. Выразим ее такой формулой:

    dS=adr.

    С учетом приведенных выше выражений, а также того факта, что BS, мы можем найти величину элементарного магнитного потока, проходящего через элемент квадратной рамки, так:

    dΦ=BdS=μ0I2πradr.

    Далее вычисляем величину полного потока, учитывая, что xrx+a:

    Φ=xx+aμ0I2πradr=μ0Ia2πlnx+ax.

    После этого переходим к нахождению ЭДС индукции с помощью закона Фарадея и выражения для магнитного потока, выведенного ранее:

    εi=-dΦdx·dxdt=-μ0Ia2π·xx+a(x-1-(x+a)x-2)·υ==-μ0Ia2π·xx+ax-x-ax2=μ0Ia2υ2π(x+a)x.

    Ответ: εi=μ0Ia2υ2π(x+a)x.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,2 из 5 (7 голосов)