Энергия магнитного поля в веществе

Энергия магнитного поля в веществе

    Допустим, что у нас есть магнитное поле, созданное фиксированным распределением токов в пространстве. Его индукцию можно вычислить так:

    B0(x, y, z)=μoH0(x, y, z).

    А энергию этого магнитного поля – так:

    Wm=B2/2μμ0.

    Теперь представим, что все пространство заполнено однородным магнетиком с магнитной проницаемостью, равной μ=const. Примем, что поле создается тем же распределением токов. Тогда его напряженность не будет меняться:

    H=H0.

    А индукцию данного поля можно вычислить по формуле:

    B=FLqυsin a.

    Тогда из двух предыдущих уравнений мы можем найти энергию магнитного поля при наличии магнетика:

    wm=12HB=12B2μμ0.

    Из данного выражения можно сделать вывод, что энергия магнитного поля растет по мере заполнения пространства однородным магнетиком. Это объясняется сторонними движущими силами, придающими энергию процессу, т.к. они поддерживают токи постоянными. Поскольку источники энергии остаются прежними и после заполнения пространства магнетиком, то можно предположить, что энергия магнетика во внешнем поле будет равна:

    WB=12V1μ0-1μB·Bidv.

    Теперь вспомним о таких понятиях, как векторы напряженности и векторы намагниченности. Они связаны между собой выражением:

    M=χmH.

    Здесь буквой x обозначается магнитная восприимчивость, которая в случае с изотропными магнетиками соотносится с магнитной проницаемостью следующим образом:

    J=χH.

    Преобразуем подынтегральное выражение и используем формулы, выведенные до этого. Получим:

    Тогда энергия магнетика будет равна:

    Полученная формула будет иметь ту же структуру, что и формула вычисления энергии диэлектрика во внешнем электрическом поле, но с другим знаком справа. Она рассчитана изначально для магнетика, имеющего постоянную магнитную проницаемость, однако в других случаях ее также можно использовать.

    Как изменяется энергия магнетика при изменении магнитной проницаемости среды

    Возьмем среду с магнитной проницаемостью μ2, в которой находится магнетик с проницаемостью μ1. Тогда в соответствии с выведенной ранее формулой запишем, что:

    Здесь H2 - это напряженность поля в точках магнетика с проницаемостью μ2 (предположим, что другого магнетика у нас нет), H1 – фактическая напряженность поля в магнетике с проницаемостью
    μ1.

    Если магнитная проницаемость среды изменяется на бесконечно малую величину δμ=μ1-μ2, то энергия магнетика во внешнем магнитном поле напряженностью H изменяется на δWmυ.

    Подставим в формулу H2=H, H1=H+δH, откинем величину δμδH·H и получим:

    Решение задач на нахождение энергии магнитного поля

    Пример 1

    Условие: у нас есть соленоид с током без сердечника. Плотность энергии создаваемого им магнитного поля равна 0,1 Джм3. Найдите увеличение плотности энергии при включении в соленоид железного сердечника. Сила тока при этом останется прежней.

    Решение

    Сразу отметим, что магнитная проницаемость среды для соленоида без сердечника будет равна единице. Чтобы найти напряженность магнитного поля соленоида, используем следующую формулу:

    w=μμ0H22.

    Выразим напряженность из формулы и получим:

    H=2wμμ0.

    При включении в соленоид сердечника напряженность поля останется прежней, а для вычисления индукции возьмем эту формулу:

    H=2·0,14π·10-7=0,4·103.

    Для нахождения индукции по напряженности магнитного поля в железном сердечнике нам нужно будет заглянуть в справочник. Он может быть представлен как в табличной, так и графической форме. Найдем там нужную величину, равную B1 Тл. Теперь перейдем к вычислению плотности магнитной энергии поля соленоида с железным сердечником:

    w'=BH2.

    Теперь вычисляем значение w':

    w'=1·4002=200.

    После чего найдем искомое соотношение плотностей:

    w'w=2000,1=2000.

    Ответ: при включении железного сердечника плотность энергии возрастет в 2 тысячи раз.

    Пример 2

    Условие: у нас есть квадратная железная рамка с обмоткой из n-ного количества витков, по которой течет ток с силой I. В ней есть прорезь шириной a. Вычислите величину энергии магнитного поля в зазоре рамки, если длина ее средней линии равна d, а площадь поперечного сечения – S. Магнитную проницаемость рамки взять равной μ, рассеяние поля в краях прорези не учитывать.

    Решение

    Начнем с вычисления напряженности магнитного поля в самой рамке и ее зазоре. Для этого нам понадобится теорема о циркуляции:

    LHdl=k=1NIk.

    Согласно условиям нашей задачи, основная формула будет иметь следующий вид:

    H(d-a)+Ha=INH=INd.

    Теперь найдем величину магнитной индукции в зазоре:

    B=μ0H.

    Подставим нужные значения и вычислим:

    H(d-a)+Bμ0a=INB=μ0INa-μ0(d-a)Ha.

    Энергия магнитного поля в зазоре будет равна:

    Wm1=BH2S·a=12μ0INa-μ0(d-a)INdaINd·S·a=12μ0a(IN)2Sd.

    Теперь вычислим магнитную энергию в сердечнике:

    Wm2=μμ0H22S(d-a)=μμ0H22INd2(d-a).

    Нам осталось только найти полную энергию поля:

    Wm=Wm1+Wm2=12μ0a(IN)2Sd+μμ0H22INd2(d-a)=12μ0S(IN)2da+μd(d-a).

    Ответ: Wm1=12μ0a(IN)2Sd, Wm=12μ0S(IN)2da+μd(d-a).

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,8 из 5 (20 голосов)