Циркуляция вектора напряженности электростатического поля

Циркуляция вектора напряженности электростатического поля

    Было выявлено, что на заряд q, находящийся в электростатическом поле, действуют консервативные силы, причем работа А на замкнутом пути L равняется нулю:

    A=LF¯dr¯=qLE¯ dr¯=0, где r - это вектор перемещения. Данный интеграл представляет собой циркуляцию вектора напряженности электростатического поля.

    Если единичный заряд положительный, то запись приобретает совсем другой вид. Интеграл левой части уравнения и является циркуляцией вектора напряженности по контуру L.

    Теорема о циркуляции

    Теорема 1

    Электростатическое поле характеризуется циркуляцией его вектора напряженности по замкнутому полю и равняется нулю. Утверждение называют теоремой о циркуляции вектора напряженности электростатического поля.

    Доказательство 1

    Для ее доказательства основываются на работе поля по перемещению заряда, не зависящую от ее траектории. L1 и L2 обозначают в качестве различных путей между точками А и В. При замене их местами получим L=L1+L2. Теорема доказана

    Следствие теоремы о циркуляции. Теорема Стокса

    Так как линии на напряженности электростатического поля незамкнуты, то это применяют в качестве следствия. Их начало идет с положительных зарядов, а заканчивается отрицательными или их уходом в бесконечность. Теорема верна для статичных зарядов.

    Еще одним следствием является непрерывность тангенциальных составляющих напряженности. Это говорит о том, что ее компоненты, являющиеся касательными к выбранной любой поверхности во всякой точке, на обеих сторонах содержат одинаковые значения.

    Необходимо выделить произвольную часть поверхности S, которая опирается на контур L.

    Рисунок 1

    Определение 1

    По формуле Стокса интеграл от ротора вектора напряженности rot E, взятый по поверхности
    S, равняется циркуляции вектора напряженности вдоль контура, на который опирается данная поверхность.

    Значение dS=dS·nn является единичным вектором, перпендикулярным участку dS . Интенсивность «завихрения» вектора характеризуется ротором rot E. Это рассматривают на примере наличия крыльчатки, помещенной в жидкости, изображаемой на рисунке 2. Если ротор не равняется нулю, то крыльчатка будет продолжать вращение, причем с ростом скорости вращения увеличится модуль проекция ротора на ось крыльчатки.

    Рисунок 2

    Для вычисления ротора применяют формулы:

    Если использовать уравнение (6), то циркуляция вектора напряженности будет равной нулю.

    При выполнении условия (8) для любой поверхности S, упирающейся на контур L, возможно с подынтегральным выражением, причем для каждой точки поля.

    Действие производится аналогично крыльчатке из рисунка 2. На ее концах имеются одинаковые заряды, равные q. Вся система находится в однородном поле с напряженностью E. Если rot E0, то предусмотрено вращение с ускорением, зависящим от проекции ротора на ось крыльчатки. Если поле электростатическое, тогда движение по окружности не происходило бы ни при каком расположении оси. Основная отличительная особенность электростатического поля в том, что оно является безвихревым.

    Определение 2

    Представление теоремы о циркуляции в дифференциальном виде:

    rot E¯=0

    Пример 1

    Дан рисунок 3 с изображением электростатического поля. Что можно сказать о его характеристиках?

    Рисунок 3

    Решение

    По рисунку видно, что существование электростатического поля невозможно. Для выделенного пунктиром контура циркуляции вектора напряженности применяется формула:

    LEds0.

    Это невозможно, так как существует противоречие теоремы о циркуляции. Определение напряженности поля (измеряется в вольтах на метр Вм или в ньютонах на кулон НК) идет с помощью густоты силовых линий, причем с различными значениями. Работа по замкнутому кругу не равна нулю, значит, циркуляция вектора напряженности также нулю не равняется.

    Пример 2

    Показать, что тангенциальные составляющие вектора напряженности электростатического поля не изменяются при переходе через границу раздела диэлектриков, основываясь на теореме о циркуляции.

    Решение

    Если рассмотреть границу между двумя диэлектриками с диэлектрическими проницаемостями ε2 и ε1, изображенных на рисунке 4, то видно, что ось Х проходит через середины сторон b. На границе выбирается прямоугольный контур с параметрами длины (а) и ширины (b).

    Рисунок 4

    Выполнение теоремы о циркуляции обусловлено наличием электростатического поля. Его находят из формулы:

    LEds=0.

    Если контур имеет небольшие размеры, тогда циркуляция вектора напряженности, согласно формуле LEds=0, представляется в виде:

    LEds=E1xa-E2xa+Eb2b=0.

    Eb - это среднее значение E на участках, перпендикулярных к границе раздела.

    Из формулы LEds=E1xa-E2xa+Eb2b=0 следует:

    E2x-E1xa=Eb2b.

    Когда b0, тогда

    E2x=E1x.

    Выполнение выражения E2x=E1x возможно при произвольном выборе оси Х, которая располагается на границе раздела диэлектриков. Можно представить вектор напряженности в виде двух: тангенциальной Eτ и нормальной En:

    E1=E1n+E1τ, E2=E2n+E2τ.

    Отсюда следует, что

    Eτ1=Eτ2, где Eτi является проекцией вектора напряженности на орт τ, который направлен вдоль границы раздела диэлектриков.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,0 из 5 (13 голосов)