Понятие неравенства, связанные определения
Мы помогаем студентам с дипломными, курсовыми, контрольными Узнать стоимость

Понятие неравенства, связанные определения

    Неравенство – обратная сторона равенства. Материал данной статьи дает определение неравенства и начальную информацию о нем в разрезе математики.

    Определение неравенства

    Понятие неравенства, как и понятие равенства, связывается с моментом сравнения двух объектов. В то время как равенство означает «одинаковы», то неравенство, напротив, свидетельствует о различиях объектов, которые сравниваются. К примеру,  и  - одинаковые объекты или равные.  и  - объекты, отличающиеся друг от друга или неравные.

    Неравенство объектов определяется по смысловой нагрузке такими словами, как выше – ниже (неравенство по признаку высоты); толще – тоньше (неравенство по признаку толщины); длиннее – короче (неравенство по признаку длины) и так далее.

    Возможно рассуждать как о равенстве-неравенстве объектов в целом, так и о сравнении их отдельных характеристик. Допустим, заданы два объекта:  и . Без сомнений, эти объекты не являются одинаковыми, т.е. в целом они не равны: по признаку размера и цвета. Но, в то же время, мы можем утверждать, что равны их формы – оба объекта являются кругами.

    В контексте математики смысловая нагрузка неравенства сохраняется. Однако, в этом случае речь идет о неравенстве математических объектов: чисел, значений выражений, значений величин (длина, площадь и т.д.), векторов, фигур и т.п.

    Не равно, больше, меньше

    В зависимости от целей поставленной задачи ценным можем являться уже просто факт выяснения неравенства объектов, но обычно вслед за установлением факта неравенства происходит выяснение того, какая все же величина больше, а какая – меньше.

    Значение слов «больше» и «меньше» нам интуитивно знакомо с самого начала нашей жизни. Очевидным является навык определять превосходство объекта по размеру, количеству и т.д. Но в конечном счете любое сравнение приводит нас к сравнению чисел, которые определяют некоторые характеристики сравниваемых объектов. По сути, мы выясняем, какое число больше, а какое – меньше.

    Простой пример:

    Пример 1

    Утром температура воздуха составила 10 градусов по Цельсию; в два часа дня этот показатель составил 15 градусов. На основе сравнения натуральных чисел мы можем утверждать, что значение температуры утром было меньше, чем ее значение в два часа дня (или в два часа дня температура увеличилась, стала больше, чем была температура утром).

    Запись неравенств с помощью знаков

    Существуют общепринятые обозначения для записи неравенств:

    Определение 1
    •  знак «не равно», представляющий собой перечеркнутый знак «равно»: . Этот знак располагается между неравными объектами. Например: 510 пять не равно десяти;
    •  знак «больше»: > и знак «меньше»: <. Первый записывается между большим и меньшим объектами; второй между меньшим и большим. Например, запись о сравнении отрезков вида |AB| > |CD| говорит о том, что отрезок AB больше отрезка СD;
    • знак «больше или равно»: и знак «меньше или равно»: .

    Подробнее их смысл разберем ниже. Дадим определение неравенств по виду их записи.

    Определение 2

    Неравенства – алгебраические выражения, имеющие смысл и записанные при помощи знаков , > , <, , .

    Строгие и нестрогие неравенства

    Определение 3

    Знаки строгих неравенств – это знаки «больше» и «меньше»: > и < Неравенства, составленные с их помощью – строгие неравенства.

    Знаки нестрогих неравенств – это знаки «больше или равно» и «меньше или равно»: и . Неравенства, составленные с их помощью – нестрогие неравенства.

    Как применяются строгие неравенства, мы разобрали выше. Зачем же используются нестрогие неравенства? В практике такими неравенствами возможно задавать случаи, описываемые словами «не больше» и «не меньше». Фраза «не больше» означает меньше или столько же – этому уровню сравнения соответствует знак «меньше или равно» . В свою очередь, «не меньше» значит – столько же или больше, а это знак «больше или равно» . Таким образом, нестрогие неравенства, в отличие от строгих, дают возможность равенства объектов.

    Верные и неверные неравенства

    Определение 4

    Верное неравенство – то неравенство, которое соответствует указанному выше смыслу неравенства. В ином случае оно является неверным.

    Приведем простые примеры для наглядности:

    Пример 2

    Неравенство 55 является неверным, поскольку на самом деле числа 5 и 5 равны.

    Или такое сравнение:

    Пример 3

    Допустим S – площадь некой фигуры, в этом случае S<-4 является верным неравенством, поскольку площадь всегда выражена неотрицательным числом.

    Аналогичными по смыслу термину «верное неравенство» являются фразы «справедливое неравенство», «имеет место неравенство» и т.д.

    Свойства неравенств

    Опишем свойства неравенств. Очевидный факт, что объект никак не может быть неравным самому себе, и это есть первое свойство неравенства. Второе свойство звучит так: если первый объект не равен второму, то и второй не равен первому.

    Опишем свойства, соответствующие знакам «больше» или «меньше»:

    Определение 5
    • антирефлективность. Это свойство можно выразить так: для любого объекта k неравенства k>k и k<k неверны;
    • антисимметричность. Данное свойство говорит о том, что, если первый объект больше или меньше второго, то второй объект, соответственно, меньше или больше первого. Запишем: если m>n, то n<m. Или: если m<n, то n>m;
    • транзитивность. В буквенной записи указанное свойство будет выглядеть так: если задано, что a<b и b<с, то a<c.  Наоборот: a>b и b>с, а значит a>c. Данное свойство интуитивно понятно и естественно: если первый объект больше второго, а второй – больше третьего, то становится ясно, что первый объект тем более больше третьего.

    Знакам нестрогих неравенств также присущи некоторые свойства:

    Определение 6
    • рефлексивность: aa и aa (сюда же включается случай, когда a=a);
    • антисимметричность: если ab, то ba. Если же ab, то ba;
    • транзитивность: если ab и bc, то очевидно, что ac. И также: если аb, а bс, то ас.

    Двойные, тройные и т.п. неравенства

    Свойство транзитивности дает возможность записывать двойные, тройные и так далее неравенства, по сути являющиеся цепочками неравенств. К примеру: двойное неравенство –  e >f>g или тройное неравенство k1 k2 k3 k4.

    Отметим, что удобным бывает записывать неравенство как цепочки, включающие в себя различные знаки: равно, не равно и знаки строгих и нестрогих неравенств. Например, x=2<yz<15.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,7 из 5 (13 голосов)