Извлечение корней: определение, методы извлечения, примеры

Извлечение корней: методы, способы, решения

    Из этой статьи вы узнаете:

    • что такое «извлечение корня»;
    • в каких случаях он извлекается;
    • принципы нахождения значения корня;
    • основные способы извлечения корня из натуральных и дробных чисел.

    Что такое «извлечение корня»

    Для начала введем определение «извлечение корня».

    Определение 1

    Извлечение корня — процесс нахождения значения корня.

    При извлечении корня n-ной степени из числа a, мы находим число b, n-ная степень которого равняется a. Если мы нашли такое число b, можно утверждать, что корень извлечен.

    Замечание 1

    Выражения «извлечение корня» и «нахождение значения корня» равнозначны.

    В каких случаях извлекается корень?

    Определение 2

    Корень n-ной степени можно извлечь из числа a точно в случае, если a можно представить в виде n-ной степени некоторого числа b

    Пример 1

    4=2×2, следовательно, из числа 4 можно точно извлечь квадратный корень, который равен 2

    Определение 3

    Когда корень n-ной степени из числа a невозможно представить в виде n-ной степени числа b, то такой корень не извлекается либо извлекается только приближенное значение корня с точностью до любого десятичного разряда. 

    Пример 2

    21,4142.

    Принципы нахождения значения корня и способы их извлечения

    • Использование таблицы квадратов, таблицы кубов и т.д.
    • Разложение подкоренного выражения (числа) на простые множители
    • Извлечение корней из дробных чисел
    • Извлечение корня из отрицательного числа
    • Поразрядное нахождение значения корня

    Необходимо понять, по каким принципам находится значение корней, и каким образом они извлекаются.

    Определение 4

    Главный принцип нахождения значения корней — основываться на свойствах корней, в том числе на равенстве: bnn=b, которое является справедливым для любого неотрицательного числа b.

    Начать следует с наиболее простого и очевидного способа: таблицы квадратов, кубов и т.д.

    Когда таблицы под руками нет, вам поможет способ разложения подкоренного числа на простые множители (способ незатейливый).

    Стоит уделить внимание извлечению корня из отрицательного числа, что является возможным для корней с нечетными показателями.

    Изучим, как извлекать корни из дробных чисел, в том числе из смешанных чисел, обыкновенных и десятичных дробей.

    И потихоньку рассмотрим способ поразрядного нахождения значения корня — наиболее сложного и многоступенчатого.

    Использование таблицы квадратов, кубов и т.д.

    Таблица квадратов включает в себя все числа от 0 до 99 и состоит из 2 зон: в первой зоне можно составить любое число до 99 с помощью вертикального столбца с десятками и горизонтальной строки с единицами, во второй зоне содержатся все квадраты образуемых чисел.

    Таблица квадратов

    Таблица квадратов единицы
    0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
    десятки 0 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81
    1 100 121 144 169 196 225 256 289 324 361
    2 400 441 484 529 576 625 676 729 784 841
    3 900 961 1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444 1521
    4 1600 1681 1764 1849 1936 2025 2116 2209 2304 2041
    5 2500 2601 2704 2809 2916 3025 3136 3249 3364 3481
    6 3600 3721 3844 3969 4096 4225 4356 4489 4624 4761
    7 4900 5041 5184 5329 5476 5625 5776 5929 6084 6241
    8 6400 6561 6724 6889 7056 7225 7396 7569 7744 7921
    9 8100 8281 8464 8649 8836 9025 9216 9409 9604 9801

    Существуют также таблицы кубов, четвертой степени и т.д., которые созданы по принципу, аналогичному таблице квадратов.

    Таблица кубов

    Таблица кубов   единицы
    0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
    десятки 0 0 1 8 27 64 125 216 343 512 729
    1 1000 1 331 1 728 2 197 2 744 3 375 4 096 4 913 5 832 6 859
    2 8000 9 261 10 648 12 167 13 824 15 625 17 576 19 683 21 952 24 389
    3 27000 29 791 32 768 35 937 39 304 42 875 46 656 50 653 54 872 59 319
    4 64000 68 921 74 088 79 507 85 184 91 125 97 336 103 823 110 592 117 649
    5 125000 132 651 140 608 148 877 157 464 166 375 175 616 185 193 195 112 205 379
    6 216000 226 981 238 328 250 047 262 144 274 625 287 496 300 763 314 432 328 509
    7 343000 357 911 373 248 389 017 405 224 421 875 438 976 456 533 474 552 493 039
    8 512000 531 441 551 368 571 787 592 704 614 125 636 056 658 503 681 472 704 969
      729000 753 571 778 688 804 357 830 584 857 375 884 736 912 673 941 192 970 299

    Принцип функционирования таких таблиц прост, однако их часто нет под рукой, что значительно усложняет процесс извлечение корня, поэтому необходимо владеть минимум несколькими способами извлечения корней.

    Разложение подкоренного числа на простые множители 

    Наиболее удобный способ нахождения значения корня после таблицы квадратов и кубов.

    Определение 5

    Способ разложения подкоренного числа на простые множители подразумевает под собой представление числа в виде степени с необходимым показателем, что дает нам возможность получить значение корня.

    Пример 3

    Извлечем квадратный корень из 144.

    Разложим 144 на простые множители:

    Таким образом: 144=2×2×2×2×3×3=(2×2)2×32=(2×2×3)2=122. Следовательно, 144=122=12.

    Также при использовании свойств степени и корней можно записать преобразование немного по-другому:

    144=2×2×2×2×3×3=24×32=24×32=22×3=12

    144=12 - окончательный ответ.

    Извлечение корней из дробных чисел

    Запоминаем: любое дробное число должно быть записано в виде обыкновенной дроби. 

    Определение 6

    Следуя свойству корня из частного, справедливым является следующее равенство:

    pqn=pnqn. Исходя из этого равенства, необходимо воспользоваться правилом извлечения корня из дроби: корень из дроби равен от деления корня числителя на корень знаменателя.

    Пример 4

    Рассмотрим пример извлечения корня из десятичной дроби, поскольку извлечь корень из обыкновенной дроби можно с помощью таблицы.

    Необходимо извлечь кубический корень из 474,552. Первым делом, представим десятичную дробь в виде обыкновенной: 474,552 = 474552/1000. Из этого следует: 47455210003=474552310003. Затем можно приступить к процессу извлечения кубических корней в числителе и знаменателе:

    474552=2×2×2×3×3×3×13×13×13=(2×3×13)3=783 и 1000=103, то

    4745523=7833=78 и 10003=1033=10.

    Завершаем вычисления: 474552310003=7810=7,8.

    Извлечение корня из отрицательных чисел

    Если знаменатель является нечетным числом, то число под знаком корня может оказаться отрицательным. Из этого следует: для отрицательного числа -a и нечетного показателя корня 2n-1 справедливо равенство:

    -a2×n-1=-a2×n-1

    Определение 7

    Правило извлечения нечетной степени из отрицательных чисел: чтобы извлечь корень из отрицательного числа необходимо извлечь корень из противоположного ему положительного числа и поставить перед ним знак минус.

    Пример 5

    -122092435. Для начала необходимо преобразовать выражение, чтобы под знаком корня оказалось положительно число:

    -122092435=12209243-5​​​​​​

    Затем следует заменить смешанное число обыкновенной дробью:

    12209243-5=3125243-5

    Пользуясь правилом извлечения корней из обыкновенной дроби, извлекаем:

    3125243-5=-312552435

    Вычисляем корни в числителе и знаменателе:

    -312552435=-555355=-53=-123

    Краткая запись решения:

    -122092435=12209243-5=3125243-5=-312552435=-555355=-53=-123.

    Ответ: -122092435=-123.

    Поразрядное нахождение значения корня

    Бывают случаи, когда под корнем находится число, которое не получается представить в виде n-ной степени некоторого числа. Но необходимо знать значение корня с точностью до некоторого знака. 

    В таком случае необходимо воспользоваться алгоритмом поразрядного нахождения значения корня, с помощью которого можно получить достаточное количество значений искомого числа.

    Пример 6

    Как это происходит, разберем на примере извлечения квадратного корня из 5.

    Сперва необходимо найти значение разряда единиц. Для этого начнем перебирать значения 0,1,2,...,9, вычисляя при этом 02, 12, ..., 92 до необходимого значения, которое больше, чем подкоренное число 5. Все это удобно представить в виде таблицы:

    Возможное значение корня 0 1 2 3
    Это значение в степени 0 1 4 9

    Значение ряда единиц равняется 2 (так как 22<5, а 23>5). Переходим в разряду десятых — будем возводить в квадрат числа 2,0, 2,1, 2,2,...,2,9, , сравнивая полученные значения с числом 5.

    Возможное значение корня 2,0 2,1 2,2 2,3
    Это значение в степени 4 4,41 4,84 5,29

    Поскольку 2,22<5, а 2,32>5, то значение десятых равняется 2. Переходим к нахождению значения сотых:

    Возможное значение корня 2.20 2,21 2,22 2,23 2,24
    Это значение в степени 4,84 4,8841 4,8294 4,9729 5,0176

    Таким образом, найдено значение корня из пяти — 2,23. Можно находить значения корня дальше: 

    2,236, 2,2360, 2, 23606, 2,236067,...

    Итак, мы изучили несколько наиболее распространенных способов нахождения значения корня, воспользоваться которыми можно в любой ситуации.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,8 из 5 (9 голосов)