Умножение матриц: примеры, алгоритм умножения на вектор, число, свойства произведения

Умножение матриц: примеры, алгоритм действий, свойства произведения

    Произведение двух матриц

    Определение 1

    Произведение матриц (С= АВ) — операция только для согласованных матриц А и В, у которых число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В:

    Cm×n=Am×p×Bp×n

    Пример 1

     Даны матрицы:

    • A=a(ij) размеров m×n;
    • B=b(ij) размеров p×n

    Матрицу C, элементы cij которой вычисляются по следующей формуле:

    cij=ai1×b1j+ai2×b2j+...+aip×bpj, i=1,...m, j=1,...m

    Пример 2

    Вычислим произведения АВ=ВА:

    А=121012, В=100111

    Решение, используя правило умножения матриц:

    А2×3×В3×2=121012×100111=1×1+2×0+1×11×0+2×1+1×10×1+1×0+2×10×0+1×1+2×1==23232×2

    В3×2×А2×3=100111×121012=1×1+0×01×2+0×11×1+0×20×1+1×00×2+1×10×1+1×21×1+1×01×2+1×11×1+1×2=1210121333×3

    Произведение АВ и ВА найдены, но являются матрицами разных размеров: АВ не равна ВА.

    Свойства умножения матриц

    Свойства умножения матриц:

    • (АВ)С = А(ВС) — ассоциативность умножения матриц;
    • А(В+С) = АВ + АС — дистрибутивность умножения;
    • (А+В)С = АС + ВС — дистрибутивность умножения;
    • λ(АВ)=(λА)В
    Пример 1

    Проверяем свойство №1: (АВ)С = А(ВС):

    (А×В)×А=1234×5678×1002=19224350×1002=194443100,

    А(В×С)=1234×56781002=1234×512716=194443100.

    Пример 2

    Проверяем свойство №2: А(В+С) = АВ + АС:

    А×(В+С)=1234×5678+1002=1234×66710=20264658,

    АВ+АС=1234×5678+1234×1002=19224350+1438=20264658.

    Произведение трех матриц

    Произведение трех матриц АВС вычисляют 2-мя способами:

    • найти АВ и умножить на С: (АВ)С;
    • либо найти сначала ВС, а затем умножить А(ВС).
    ​​​​​Пример 3

    Перемножить матрицы 2-мя способами:

    4375×-289338-126×7321

    Алгоритм действий:

    • найти произведение 2-х матриц;
    • затем снова найти произведение 2-х матриц.

    1). АВ=4375×-289338-126=4(-28)+3×384×93+3(-126)7(-28)+5×387×93+5(-126)=2-6-621

    2). АВС=(АВ)С=2-6-6217321=2×7-6×22×3-6×1-6×7+21×2-6×3+21×1=2003.

    Используем формулу АВС=(АВ)С:

    1). ВС=-289338-1267321=-28×7+93×2-28×3+93×138×7-126×238×3-126×1=-10914-12

    2). АВС=(АВ)С=7321-10914-12=4(-10)+3×144×9+3(-12)7(-10)+5×147×9+5(-12)=2003

    Ответ: 4375-289338-1267321=2003

    Умножение матрицы на число

    Определение 2

    Произведение матрицы А на число k — это матрица В=Аk того же размера, которая получена из исходной умножением на заданное число всех ее элементов:

    bi,j=k×ai,j

    Свойства умножения матрицы на число:

    • 1×А=А
    • 0×А=нулевая матрица
    • k(A+B)=kA+kB
    • (k+n)A=kA+nA
    • (k×n)×A=k(n×A)
    Пример 4

    Найдем произведение матрицы А=4290   на 5.

    Решение:

    5А=542905×45×25×95×0=2010450

    Умножение матрицы на вектор

    Определение 3

    Чтобы найти произведение матрицы и вектора, необходимо умножать по правилу «строка на столбец»:

    • если умножить матрицу на вектор-столбец число столбцов в матрице должно совпадать с числом строк в векторе-столбце;
    • результатом умножения вектора-столбца является только вектор-столбец:

    АВ=а11а12а1nа21а22а2nаm1аm2аmnb1b2b1n=a11×b1+a12×b2++a1n×bna21×b1+a22×b2++a2n×bnam1×b1+am2×b2++amn×bn=c1c2c1m

    • если умножить матрицу на вектор-строку, то умножаемая матрица должна быть исключительно вектором-столбцом, причем количество столбцов должно совпадать с количеством столбцов в векторе-строке:

    АВ=аааbbb=a1×b1a1×b2a1×bna2×b1a2×b2a2×bnan×b1an×b2an×bn=c11c12c1nc21c22c2ncn1cn2cnn

    Пример 5

    Найдем произведение матрицы А и вектора-столбца В:

    АВ=240-213-10112-1=2×1+4×2+0×(-1)-2×1+1×2+3×(-1)-1×1+0×2+1×(-1)=2+8+0-2+2-3-1+0-1=10-3-2

    Пример 6

    Найдем произведение матрицы А и вектора-строку В:

    А=320-1, В=-1102

    Решение:

    АВ=3201×-1102=3×(-1)3×13×03×22×(-1)2×12×02×20×(-1)0×10×00×21×(-1)1×11×01×2=-3306-22040000-1102

    Ответ: АВ=-3306-22040000-1102

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    5,0 из 5 (5 голосов)