Свойства корней: формулировки, доказательства, примеры, свойства корней n й степени

Свойства корней: формулировки, доказательства, примеры

    Данная статья представляет собой совокупность детальной информации, которая касается темы свойства корней. Рассматривая тему, мы начнем со свойств , изучим все формулировки и приведем доказательства. Для закрепления темы мы рассмотрим свойства  n-ой степени.

    Свойства корней

    Мы поговорим о свойствах .

    1. Свойство умноженных чисел a и b, которое представляется как равенствоa·b=a·b. Его можно представить в виде множителей, положительных или равных нулю a1, a2, , ak как a1· a2· · ak=a1· a2· · ak;
    2. из частного a:b=a:b,  a0, b>0, он также может записываться в таком виде ab=ab;
    3. Свойство из степени числа a с четным показателем a2·m=am при любом числе a, например, свойство из квадрата числа a2=a.

    В любом из представленных уравнений можно поменять части до и после знака тире местами, например, равенство a·b=a·b трансформируется как a·b=a·b. Свойства для равенства часто используются для упрощения сложных уравнений.

    Доказательство первых свойств основано на определении квадратного корня и свойствах степеней с натуральным показателем. Чтобы обосновать третье свойство, необходимо обратиться к определению модуля числа.

    Первым делом, необходимо доказать свойства квадратного корня a·b=a·b. Согласно определению , необходимо рассмотреть, что a·b - число, положительное или равное нулю, которое будет равно a·b при возведении в квадрат. Значение выражения a·b положительно или равно нулю как произведение неотрицательных чисел. Свойство степени умноженных чисел позволяет представить равенство в виде (a·b)2=a2·b2. По определению квадратного корня a2=a и b2=b, то a·b=a2·b2=a·b.

    Аналогичным способом можно доказать, что из произведения k множителей a1, a2, , ak будет равняться произведению квадратных корней из этих множителей. Действительно, a1·a2· · ak2=a12· a22· · ak2=a1· a2· · ak.

    Из этого равенства следует, что a1· a2· · ak=a1· a2· · ak.

    Рассмотрим несколько примеров для закрепления темы.

    Пример 1

    3·525=3·525, 4,2·1312=4,2·1312 и 2,7·4·1217·0,2(1)=2,7·4·1217·0,2(1).

    Необходимо доказать свойство арифметического квадратного корня из частного: a:b=a:b, a0, b>0. Свойство позволяет записать равенство a:b2=a2:b2, а a2:b2=a:b, при этом a:bявляется положительным числом или равно нулю. Данное выражение и станет доказательством.

    Например, 0:16=0:16, 80:5=80:5 и 30,121=30,121.

    Рассмотрим свойство квадратного корня из квадрата числа. Его можно записать в виде равенства как a2=aЧтобы доказать данное свойство, необходимо подробно рассмотреть несколько равенств при a0 и при a<0.

    Очевидно, что при a0 справедливо равенство a2=a. При a<0 будет верно равенство a2=-a. На самом деле, в этом случае a>0 и (a)2=a2. Можно сделать вывод, a2=a, a0-a, a<0=a. Именно это и требовалось доказать.

    Рассмотрим несколько примеров.

    Пример 2

    52=5=5 и -0,362=-0,36=0,36.

     Доказанное свойство поможет дать обоснованиеa2·m=am, где a – действительное, а m –натуральное число. Действительно, свойство возведения степени позволяет заменить степень a2·m выражением (am)2, тогда a2·m=(am)2=am.

    Пример 3

    38=34=34 и (-8,3)14=-8,37=(8,3)7.

    Свойства корня n-ой степени

    Для начала необходимо рассмотреть основные свойства корней n-ой степени:

    1. Свойство из произведения чисел a и b, которые положительны или равны нулю, можно выразить в качестве равенства a·bn=an·bn, данное свойство справедливо для произведения k чисел a1, a2, , ak как a1· a2· ·akn=a1n· a2n· ·akn;
    2.  из дробного числа обладает свойством abn=anbn, где a – любое действительное число, которое положительно или равно нулю, а b – положительное действительное число;
    3. При любом a и четных показателях n=2·m справедливо a2·m2·m=a, а при нечетных n=2·m1 выполняется равенство a2·m-12·m-1=a.
    4. Свойство извлечения из amn=an·m, где a – любое число, положительное или равное нулю, n и m – натуральные числа, это свойство также может быть представлено в виде ...ankn2n1=an1·n2...·nk;
    5. Для любого неотрицательного a и произвольных n и m, которые являются натуральными, также можно определить справедливое равенство amn·m=an;
    6. Свойство степени n из степени числа a, которое положительно или равно нулю, в натуральной степени m, определяемое равенством amn=anm;
    7. Свойство сравнения , которые обладают одинаковыми показателями: для любых положительных чисел a и b таких, что a<b, выполняется неравенство an<bn;
    8. Свойство сравнения , которые обладают одинаковыми числами под корнем: если m и nнатуральные числа, что m>n, тогда при 0<a<1 справедливо неравенство am>an, а при a>1 выполняется am<an.

    Равенства, приведенные выше, являются справедливыми, если части до и после знака равно поменять местами. Они могут быть использованы и в таком виде. Это зачастую применяется во время упрощения или преобразовании выражений.

    Доказательство приведенных выше свойств корня основывается на определении, свойствах степени и определении модуля числа. Данные свойства необходимо доказать. Но все по порядку.

    1. Первым делом докажем свойства корня n-ой степени из произведения a·bn=an·bn. Для a и b, которые являются положительными или равными нулю, значение an·bn также положительно или равно нулю, так как является следствием умножения неотрицательных чисел. Свойство произведения в натуральной степени позволяет записать равенство an·bnn=ann·bnn. По определению корня n-ой степени ann=a и bnn=b, следовательно, an·bnn=a·b. Полученное равенство – именно то, что и требовалось доказать.

    Аналогично доказывается это свойство для произведения k множителей: для неотрицательных чисел a1, a2, , an выполняется a1n· a2n· · akn 0 .

    Приведем примеры использования свойства корня n-ой степени из произведения: 5·2127=57·2127 и 8,34·17,(21)4·34·574=8,3·17,(21)·3·574.

    1. Докажем свойство корня из частного  abn=anbn. При a0 и b>0 выполняется условие anbn0, а anbnn=annbnn=ab.

    Покажем примеры:

    Пример 4

    8273=83273 и  2,310:2310=2,3:2310.

    1. Для следующего шага необходимо доказать свойства n-ой степени из числа в степени n. Представим это в виде равенства a2·m2·m=a и a2·m-12·m-1=a для любого действительного a и натурального m. При a0 получаем a=a и a2·m=a2·m, что доказывает равенство a2·m2·m=a, а равенство a2·m-12·m-1=a очевидно. При a<0 получаем соответственно a=-a и a2·m=(-a)2·m=a2·m. Последняя трансформация числа справедлива согласно свойству степени. Именно это доказывает равенство a2·m2·m=a, а a2·m-12·m-1=a будет справедливо, так как за  нечетной степени рассматривается -c2·m-1=-c2·m-1 для любого числа c, положительного или равного нулю.

    Для того, чтобы закрепить полученную информацию, рассмотрим несколько примеров с использованием свойства:

    Пример 5

    744=7=7, (-5)1212=-5=5, 088=0=0, 633=6 и (-3,39)55=-3,39.

    1. Докажем следующее равенство amn=an·m. Для этого необходимо поменять числа до знака равно и после него местами an·m=amn. Это будет означать верная запись . Для a, которое является положительным или равно нулю, из вида amn является числом положительным или равным нулю. Обратимся к свойству возведения степени в степень и определению . С их помощью можно преобразовать равенства в виде amnn·m=amnnm=amm=a. Этим доказано рассматриваемое свойство корня из корня.

    Аналогично доказываются и другие свойства. Действительно, ...ankn2n1n1·n2·...·nk=...ankn3n2n2·n3·...·nk=...ankn4n3n3·n4·...·nk=...=anknk=a.

    Например,735=75·3 и 0,00096=0,00092·2·6=0,000924.

    1. Докажем следующее свойство amn·m=an. Для этого необходимо показать, что an – число, положительное или равное нулю. При возведении в степень n·m равно am. Если число a является положительным или равным нулю, то n-ой степени из числа a является числом положительным или равным нулю При этом an·mn=annm, что и требовалось доказать.

    Для того, чтобы закрепить полученные знания, рассмотрим несколько примеров

    2312=24.

    1. Докажем следующее свойство – свойство корня из степени вида amn=anm. Очевидно, что при a0 степень anm является неотрицательным числом. Более того, ее n-ая степень равна am, действительно, anmn=anm·n=annm=am. Этим и доказано рассматриваемое свойство степени.

    Например, 2353=2335.

    1. Необходимо доказательство, что для любых положительных чисел a и b выполнено условие a<b. Рассмотрим неравенство an<bn. Воспользуемся методом от противного anbn. Тогда, согласно свойству, о котором говорилось выше, неравенство считается верным annbnn, то есть, ab. Но это не соответствует условию a<b. Следовательно, an<bn при a<b.

    Для примера приведем 124<15234.

    1. Рассмотрим свойство корня n-ой степени. Необходимо для начала рассмотреть первую часть неравенства. При m>n и 0<a<1 справедливо am>an. Предположим, что aman. Свойства позволят упростить выражение до anm·namm·n. Тогда, согласно свойствам степени с натуральным показателем, выполняется неравенство anm·nm·namm·nm·n, то есть, anam. Полученное значение при m>n и 0<a<1 не соответствует свойствам, приведенным выше.

    Таким же способом можно доказать, что при m>n и a>1 справедливо условие am<an.

    Для того, чтобы закрепить приведенные свойства, рассмотрим несколько конкретных примеров. Рассмотрим неравенства, используя конкретные числа.

    Пример 6

    0,73<0,75 и 12>127.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter