Умножение десятичных дробей: правила, примеры, решения, как умножать десятичные дроби

Умножение десятичных дробей: правила, примеры, решения

    В этой статье мы рассмотрим такое действие, как умножение десятичных дробей. Начнем с формулировки общих принципов, далее покажем, как умножить одну десятичную дробь на другую и рассмотрим метод умножения столбиком. Все определения будут проиллюстрированы примерами. Потом мы разберем, как правильно умножить десятичные дроби на обыкновенные, а также на смешанные и натуральные числа (в том числе 100, 10 и др.)

    В рамках этого материала мы коснемся только правил умножения положительных дробей. Случаи с отрицательными разобраны отдельно в статьях об умножении рациональных и действительных чисел.

    Умножение десятичных дробей: общие принципы

    Сформулируем общие принципы, которых надо придерживаться при решении задач на умножение десятичных дробей.

    Вспомним для начала, что десятичные дроби есть не что иное, как особая форма записи обыкновенных дробей, следовательно, процесс их умножения можно свести к аналогичному для дробей обыкновенных. Это правило работает и для конечных, и для бесконечных дробей: после их перевода в обыкновенные с ними легко выполнять умножение по уже изученным нами правилам.

    Посмотрим, как решаются такие задачи.

    Пример 1

    Вычислите произведение 1,5 и 0,75.

    Решение: для начала заменим десятичные дроби на обыкновенные. Мы знаем, что 0,75 – это 75/100, а 1,5 – это 1510. Мы можем сократить дробь и произвести выделение целой части. Полученный результат 1251000 мы запишем как 1,125.

    Ответ: 1,125.

    Мы можем использовать метод подсчета столбиком, как и для натуральных чисел.

    Пример 2

    Умножьте одну периодическую дробь 0,(3) на другую 2,(36).

    Решение

    Для начала приведем исходные дроби к обыкновенным. У нас получится:

    0,(3)=0,3+0,03+0,003+0,003+...=0,31-0,1=0,39=39=132,(36)=2+0,36+0,0036+...=2+0,361-0,01=2+3699=2+411=2411=2611

    Следовательно, 0,(3)·2,(36)=13·2611=2633.

    Полученную в итоге обыкновенную дробь можно привести к десятичному виду, разделив числитель на знаменатель в столбик:

    Ответ: 0,(3)·2,(36)=0,(78).

    Если у нас в условии задачи стоят бесконечные непериодические дроби, то нужно выполнить их предварительное округление (см. статью об округлении чисел, если вы забыли, как это делается). После этого можно производить действие умножения с уже округленными десятичными дробями. Приведем пример.

    Пример 3

    Вычислите произведение 5,382 и 0,2.

    Решение

    У нас в задаче есть бесконечная дробь, которую нужно предварительно округлить до сотых. Получится, что 5,3825,38. Второй множитель округлять до сотых смысла не имеет. Теперь можно подсчитать нужное произведение и записать ответ: 5,38·0,2=538100·210=1 0761000=1,076.

    Ответ: 5,382·0,21,076

    Как умножать десятичные дроби столбиком

    Метод подсчета столбиком можно применять не только для натуральных чисел. Если у нас есть десятичные дроби, мы можем умножить их точно таким же образом. Выведем правило:

    Определение 1

    Умножение десятичных дробей столбиком выполняется в 2 шага:

    1. Выполняем умножение столбиком, не обращая внимание на запятые.

    2. Ставим в итоговом числе десятичную запятую, отделяя ей столько цифр с правой стороны, сколько оба множителя содержат десятичных знаков вместе. Если в результате не хватает для этого цифр, дописываем слева нули.

    Разберем примеры таких расчетов на практике.

    Пример 4

    Умножьте десятичные дроби 63,37 и 0,12 столбиком.

    Решение

    Первым делом выполним умножение чисел, игнорируя десятичные запятые.

    Теперь нам надо поставить запятую на нужное место. Она будет отделять четыре цифры с правой стороны, поскольку сумма десятичных знаков в обоих множителях равна 4. Дописывать нули не придется, т.к. знаков достаточно:

    Ответ: 3,37·0,12=7,6044.

    Пример 5

    Подсчитайте, сколько будет 3,2601 умножить на 0,0254.

    Решение 

    Считаем без учета запятых. Получаем следующее число:

    Мы будем ставить запятую, отделяющую 8 цифр с правой стороны, ведь исходные дроби вместе имеют 8 знаков после запятой. Но в нашем результате всего семь цифр, и нам не обойтись без дополнительных нулей:

    Ответ: 3,2601·0,0254=0,08280654.

    Как умножить десятичную дробь на 0,001, 0,01, 01, и т.д

    Умножать десятичные дроби на такие числа приходится часто, поэтому важно уметь делать это быстро и точно. Запишем особое правило, которым мы будем пользоваться при таком умножении:

    Определение 2

    Если мы умножим десятичную дробь на 0,1, 0,01 и т.д., в итоге получится число, похожее на исходную дробь, запятая которого перенесена влево на нужное количество знаков. При нехватке цифр для переноса нужно дописывать нули слева.

    Так, для умножения 45,34 на 0,1 надо перенести в исходной десятичной дроби запятую на один знак. У нас получится в итоге 4,534.

    Пример 6

    Умножьте 9,4 на 0,0001.

    Решение

    Нам придется переносить запятую на четыре знака по количеству нулей во втором множителе, но цифр в первом для этого не хватит. Приписываем необходимые нули и получаем, что 9,4·0,0001=0,00094.

    Ответ: 0,00094.

    Для бесконечных десятичных дробей мы пользуемся тем же правилом. Так, к примеру, 0,(18)·0,01=0,00(18) или 94,938·0,1=9,4938. и др.

    Как перемножить десятичную дробь с натуральным числом

    Процесс такого умножения ничем не отличается то действия умножения двух десятичных дробей. Удобно пользоваться методом умножения в столбик, если в условии задачи стоит конечная десятичная дробь. При этом надо учитывать все те правила, о которых мы рассказывали в предыдущем пункте.

    Пример 7

    Подсчитайте, сколько будет 15·2,27.

    Решение

    Умножим столбиком исходные числа и отделим два знака запятой.

    Ответ: 15·2,27=34,05.

    Если мы выполняем умножение периодической десятичной дроби на натуральное число, надо сначала поменять десятичную дробь на обыкновенную.

    Пример 8

    Вычислите произведение 0,(42) и 22.

    Решение

    Приведем периодическую дробь к виду обыкновенной.

    0,(42)=0,42+0,0042+0,000042+...=0,421-0,01=0,420,99=4299=1433

    Далее умножаем:

    0,42·22=1433·22=14·223=283=913

    Итоговый результат можем записать в виде периодической десятичной дроби как 9,(3).

    Ответ: 0,(42)·22=9,(3).

    Бесконечные дроби перед подсчетами надо предварительно округлить.

    Пример 9

    Вычислите, сколько будет 4·2,145.

    Решение

    Округлим до сотых исходную бесконечную десятичную дробь. После этого мы придем к умножению натурального числа и конечной десятичной дроби:

    4·2,1454·2,15=8,60. 

    Ответ: 4·2,1458,60.

    Как умножить десятичную дробь на 1000, 100, 10 и др

    Умножение десятичной дроби на 10, 100 и др. часто встречается в задачах, поэтому мы разберем этот случай отдельно. Основное правило умножения звучит так:

    Определение 3

    Чтобы умножить десятичную дробь на 1000, 100, 10 и др., нужно перенести ее запятую на 3, 2,1 цифры в зависимости от множителя и отбросить слева лишние нули. Если цифр для переноса запятой недостаточно, дописываем справа столько нулей, сколько нам нужно.

    Покажем на примере, как именно это делать.

    Пример 10

    Выполните умножение 100 и 0,0783.

    Решение

    Для этого нам надо перенести в десятичной дроби запятую на 2 цифры в правую сторону. Мы получим в итоге 007,83​​​​​Нули, стоящие слева, можно отбросить и записать результат как 7,38.

    Ответ: 0,0783·100=7,83.

    Пример 11

    Умножьте 0,02 на 10 тысяч.

    Решение: мы будем переносить запятую на четыре цифры вправо. В исходной десятичной дроби нам не хватит для этого знаков, поэтому придется дописывать нули. В этом случае будет достаточно трех 0. В итоге получилось 0,02000,перенесем запятую и получим 00200,0. Игнорируя нули слева, можем записать ответ как 200.

    Ответ: 0,02·10 000=200.

    Приведенное нами правило будет работать так же и в случае с бесконечными десятичными дробями, но здесь следует быть очень внимательным к периоду итоговой дроби, так как в нем легко допустить ошибку.

    Пример 12

    Вычислите произведение 5,32(672) на 1 000.

    Решение: первым делом мы запишем периодическую дробь как 5,32672672672, так вероятность ошибиться будет меньше. После этого можем переносить запятую на нужное количество знаков (на три). В итоге получится 5326,726726 Заключим период в скобки и запишем ответ как 5 326,(726).

    Ответ: 5,32(672)·1 000=5 326,(726).

    Если в условиях задачи стоят бесконечные непериодические дроби, которые надо умножать на десять, сто, тысячу и др., не забываем округлить их перед умножением.

    Как перемножить десятичную дробь с обыкновенной или со смешанным числом

    Чтобы выполнить умножение такого типа, нужно представить десятичную дробь в виде обыкновенной и далее действовать по уже знакомым правилам.

    Пример 13

    Умножьте 0,4 на 356

    Решение

    ​Cначала переведем десятичную дробь в обыкновенную. Имеем: 0,4=410=25.

    Далее считаем: 0,4·356=25·236=2315=1815.

    Мы получили ответ в виде смешанного числа. Можно записать его как периодическую дробь 1,5(3).

    Ответ: 1,5(3).

    Если в расчете участвует бесконечная непериодическая дробь, нужно округлить ее до некоторой цифры и уже потом умножать.

    Пример 14

    Вычислите произведение 3,5678...·23

    Решение 

    Второй множитель мы можем представить как 23=0,6666…. Далее округлим до тысячного разряда оба множителя. После этого нам будет нужно вычислить произведение двух конечных десятичных дробей 3,568 и 0,667. Посчитаем столбиком и получим ответ:

    Итоговый результат нужно округлить до тысячных долей, так как именно до этого разряда мы округляли исходные числа. У нас получается, что 2,3798562,380.

    Ответ: 3,5678...·232,380

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter