Рациональные числа: определения, примеры
Мы помогаем студентам с дипломными, курсовыми, контрольными Узнать стоимость

Рациональные числа: определения, примеры

    Данная статья посвящена изучению темы "Рациональные числа". Ниже приведены определения рациональных чисел, даны примеры, рассказано о том, как определить, является ли число рациональным, или нет. 

    Рациональные числа. Определения

    Прежде чем дать дефиницию рациональных чисел вспомним, какие еще есть множества чисел, и как они связаны между собой. 

    Натуральные числа, в совокупности с противоположными им и числом ноль образуют множество целых чисел. В свою очередь, совокупность целых дробных чисел образует множество рациональных чисел.

    Определение 1. Рациональные числа

    Рациональные числа - числа, которые можно представить в виде положительной обыкновенной дроби ab, отрицательной обыкновенной дроби -ab или числа ноль. 

    Таким образом, можно оставить ряд свойств рациональных чисел:

    1. Любое натуральное число является рациональным числом. Очевидно, каждое натуральное число n можно представить в виде дроби 1n.
    2. Любое целое число, включая число 0, является рациональным числом. Действительно, любое целое положительное и целое отрицательное число легко представляется в виде соответственно положительной или отрицательной обыкновенной дроби. Например, 15=151, -352=-3521.
    3. Любая положительная или отрицательная обыкновенная дробь ab является рациональным числом. Это следует напрямую из данного выше определения.
    4. Любое смешанное число является рациональным. Действительно, ведь смешанное число можно представить в виде обыкновенной неправильной дроби.
    5. Любую конечную или периодическую десятичную дробь можно представить в виде обыкновенной дроби. Поэтому, каждая периодическая или конечная десятичная дробь является рациональным числом. 
    6. Бесконечные и непериодическое десятичные дроби не являются рациональными числами. Их невозможно представить в форме обыкновенных дробей.

    Приведем примеры рациональных чисел. Числа 5, 105, 358, 1100055 являются натуральными, положительными и целыми. Сдедовательно, это рациональные числа. Числа -2, -358, -936 представляют собой целые отрицательные числа, и они также рациональны в соответствии с определением. Обыкновенные дроби 35, 87, -358 также являются примерами рациональных чисел.  

    Приведенное выше определение рациональных чисел можно сформулировать более кратко. Еще раз ответим на вопрос, что такое рациональное число.

    Определение 2. Рациональные числа

    Рациональные числа - это такие числа, которые можно представить в виде дроби ±zn, где z - целое число, n - натуральное число.

    Можно показать, что данное определение равносильно предыдущему определению рациональных чисел. Чтобы сделать это, вспомним, что черта дроби равносильна знаку деления. С учетом правил и свойств деления целых чисел, можно записать следующие справедливые неравенства:

    0n=0÷n=0; -mn=(-m)÷n=-mn.

    Таким образом, можно записать:

    zn=zn, при z>00, при z=0-zn, при z<0

    Собственно, данная запись и является доказательством. Приведем примеры рациональных чисел, основываясь на втором определении. Рассмотрим числа -3, 0, 5, -755, 0,0125 и -135. Все эти числа являются рациональными, так как  их можно записать в виде дроби с целым числителем и натуральным знаменателем: -31, 01,-755, 12510000, 85.

    Приведем еще одну эквивалентную форму определения рациональных чисел.

    Определение 3. Рациональные числа

    Рациональное число - это такое число, которое можно записать в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби.

    Данное определение напрямую следует из самого первого определения этого пункта. 

    Подведем итог и сформулируем резюме по данному пункту:

    1. Положительные и отрицательные дробные и целые числа составляют множество рациональных чисел.
    2. Каждое рациональное число можно представить в виде обыкновенной дроби, числитель которой является целым числом, а знаменатель - натуральным числом.
    3. Каждое рациональное число можно также представить в виде десятичной дроби: конечной или бесконечной периодической.

    Какое из чисел является рациональным?

    Как мы уже выяснили, любое натуральное число, целое число, правильная и неправильная обыкновенная дробь, периодическая и конечная десятичная дробь являются рациональными числами. Вооружившись этими знаниями можно без труда определить, является ли какое-то число рациональным.

    Однако на практике часто приходится иметь дело не с числами, а с числовыми выражениями, которые содержат корни, степени и логарифмы. В некоторых случаях ответ на вопрос "рационально ли число?" является далеко не очевидным. Рассмотрим методы ответа на этот вопрос.

    Если число задано в виде выражения, содержащего только рациональные числа и арифметические действия между ними, то результат выражения - рациональное число.

    Например, значение выражения 2·318-0,250,(3) является рациональным числом и равно 18

    Таким образом, упрощение сложного числового выражения позволяет определить, рационально ли заданное им число.

    Теперь разберемся со знаком корня.

    Оказывается, что число mn, заданное в видя корня степени n от числа m рационально лишь тогда, когда m является n-ой степенью какого-то натурального числа.

    Обратимся к примеру. Число 2 не является рациональным. Тогда как 9, 81 - рациональные числа. 9 и 81 - полные квадраты чисел 3 и 9 соответственно. Числа 199, 28, 151 не являются рациональными числами, так как числа под знаком корня не являются полными квадратами каких-либо натуральных чисел. 

    Теперь возьмем более сложный случай. Является ли рациональным число 2435? Если возвести 3 в пятую степень, получается 243, поэтому исходное выражение можно переписать так: 2435=355=3. Следовательно, данное число рационально. Теперь возьмем число 1215. Это число нерационально, так как не существует натурального числа, возведение которого в пятую степень даст 121.

    Для того, чтобы узнать, является ли логарифм какого-то числа a по основанию b рациональным числом необходимо применить метод от противного. К примеру, узнаем, рационально ли число log25. Предположим, что данное число рационально. Если это так, то его можно записать в виде обыкновенной дроби log25=mn.По свойствам логарифма и свойствам степени справедливы следующие равенства:

    5=2log25=2mn5n=2m

    Очевидно, последнее равенство невозможно так как в левой и правой частях находятся соответственно нечетное и четное числа. Следовательно, сделанное предположение неверно, и число log25 не является рациональным числом.

    Стоит отметить, что при определении рациональности и иррациональности чисел не стоит принимать скоропостижных решений. Например, результат произведения иррациональных чисел не всегда является иррациональным числом. Наглядный пример: 2·2=2.

    Также существуют иррациональные числа, возведение которых в иррациональную степень дает рациональное число. В степени вида 2log23 основание и показатель степени являются иррациональными числами. Однако само число является рациональным: 2log23=3.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,4 из 5 (13 голосов)