Иррациональные числа: определение, примеры

Иррациональные числа: определение, примеры

    Иррациональные числа известны людям с глубокой древности. Еще за несколько веков до нашей эры индийский математик Манава выяснил, что квадратные корни некоторых чисел (например, 2) невозможно выразить явно.

    Данная статья является своего рода вводным уроком в тему "Иррациональные числа". Приведем определение и примеры иррациональных чисел с пояснением, а также выясним, как определить, является ли данное число иррациональным.

    Иррациональные числа. Определение

    Само название "иррациональные числа" как бы подсказывает нам определение. Иррациональное число - это действительное число, которое не является рациональным. Другими словами, такое число нельзя представить в виде дроби mn, где m - целое, а n - натуральное число.

    Определение. Иррациональные числа

    Иррациональные числа - это такие числа, которые в десятичной форме записи представляют собой бесконечные непериодические десятичные дроби.

    Для обозначения множества иррациональных чисел используется символ 𝕀

    𝕀=\ - это значит, что множество иррациональных есть разность множеств вещественных и рациональных чисел.

    В виде бесконечных и непериодических десятичных дробей иррациональные числа встречаются довольно редко. Чаще всего мы имеем дело с иррациональными числами в форме степеней, корней и логарифмов.

    Самые известные иррациональные числа:

    1. 2=1,414213..
    2. Число пи π=3,141592..
    3. Основание натурального логарифма e=2,718281..
    4. Золотое число φ=1+52=1,618033

     Как определить, является ли число иррациональным?

    Если мы имеем дело с представлением числа в виде некоторого математического выражения, то определить, иррационально ли оно, бывает достаточно проблематично.

    Как понять, что число иррационально? Во-первых, удобно пойти от противного и сразу определить, какие числа не являются иррациональными. Итак, иррациональными не являются:

    • Натуральные числа ;
    • целые числа ;
    • рациональные числа ;
    • обыкновенные дроби;
    • смешанные числа;
    • конечные и бесконечные периодические десятичные дроби.

    Любое математическое, состоящее из рациональных чисел и являющееся результатом операций над ними, также не является иррациональным числом.

    Сумма, разность, произведение и частное рациональных чисел является рациональным числом.

    Например, число определяемое выражением 2+512·0,34-28-0,183-7,2·6 - рационально. Однако, если подобное выражение содержит одно единственное иррациональное число, число, определяемое им, будет иррациональным.Число 1+3-0,5·27 будет иррациональным, так как выражение содержит иррациональное число 2

    В случае, когда выражение содержит несколько иррациональных чисел, небходимо его индивидуальное рассмотрение. Существуют признаки иррациональности числа, которыми можно пользоваться. Приведем их ниже.

    Признаки иррациональности числа

    1. Корень степени k из целого числа является рациональным числом только в том случае, когда число под корнем представляет собой k-ю степень другого целого числа.

    Например, 7 - иррациональное число, так как нет такого целого числа, квадрат которого даст число 7155 - также иррациональное число, так как нет целого числа, возведение которого в пятую степень дает в результате число 15

    Числа 12183 наоборот, рациональны, так как 112=121, 23=8.

    2. При работе с логарифмами иррациональность доказывается методом от противного. Покажем, что число log23 - иррационально. Если это не так, то число log23 можно представить в виде обыкновенной дроби mn.

    log23=mn

    По свойству логарифмов можно записать:

     3=2mn; 3n=2m

    Равенство 3n=2m невозможно, так как в левой и правой его частях находятся соответственно нечетное и четное числа. Значит, число log23 - иррационально.

    3. Натуральный логарифм ln a при любом положительном a1является иррациональным числом.

    4. Число ea, при любом рациональном и отличном от нуля a является иррациональным. Например, числа e2, e25 - иррациональные числа.

    5. Число πz, при любом целом и отличном от нуля z является иррациональным.  Числа π3, π-2 - иррациональны.

    6. Основные тригонометрические функции sincostgctg при рациональном и отличном от нуля значении аргумента, представляют иррациональные числа.

    Это лишь некоторые доказанные признаки, по которым можно определить иррациональность числа. Существуют и другие результаты, однако в этой статье мы ограничимся уже приведенными, как наиболее широко используемыми.

    В заключение отметим: иррациональность числа не всегда очевидна. Например, возведение иррационального числа в иррациональную степень не всегда дает в результате иррациональное число. Приведем такой пример.

    222=22·2=22=2

    Также, есть случаи, когда сумма, разность, произведение и частное иррациональных чисел дают а результате рациональное число. 

    Для доказательства иррациональности используется теория, связанная с алгебраическими и трансцендентными числами. При этом, рациональность или иррациональность чисел π+e, π-e, πe, ππ, π·e до сих пор не доказана. 

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter