Магнитная энергия контура с током

Магнитная энергия контура с током

    Электрический ток обладает запасом так называемой магнитной энергии. Если в процессе вычисления данной энергии принимать все провода за идеально проводящие, то это не повлияет на результат, по той причине, что магнитная энергия зависима лишь от величины и распределения токов, а также от магнитных свойств заполняющей пространство среды.

    Вывод формулы энергии магнитного поля

    Для начала рассмотрим случай с одиночным неподвижным замкнутым контуром (витком проводника).

    Пример 1

    Пускай изначально сила тока в нем равняется нулю. Не важно каким способом доводим значение тока в витке до I. Вместе с ростом тока в контуре повышается и значение магнитного потока Ф, проходящего через него. Возникает электродвижущая сила (ЭДС) индукции. Элементарная работа, производимая внешним источником против ЭДС индукции, будет эквивалентна следующему выражению: δAвнеш=-εиндIdt.

    Применяя закон Фарадея, выводим: δAвнеш=1cIdΦ.

    Данное соотношение носит общий характер. Оно является справедливым и для ферромагнитных материалов, ведь в процессе его вывода относительно магнитных свойств среды не вводилось никаких предположений. Однако стоит отметить, что в случае, когда среда не обладает гистерезисом, к примеру, являясь пара- или диамагнетиком, δAвнеш будет применяться исключительно в целях роста значения магнитной энергии Wm, соответственно:

    dWm=IcdΦ.

    Исходя из условий закона Био-Савара-Лапласа, можно заявить, что индукция магнитного поля тока линейно зависима от силы тока. В условиях переменной силы тока, протекающего по жесткому неподвижному контуру, картина силовых линий не претерпевает изменений, а индукция в каждой точке прогрессирует пропорционально силе тока. Соответственно, поток магнитной индукции Ф, проходящий через неизменную и недвижимую площадь, тоже пропорционален силе тока, по этой причине: Φ=LIc,

    где L представляет собой индуктивность контура, постоянный коэффициент пропорциональности, не обладающий зависимостью от силы тока и индукции магнитного поля. Подставим (5) в (4), получим:

    Из формулы (6) следует, что:

    Определение 1

    Формула Wm=L2Ic2=12c определяет энергию магнитного поля, формирующегося током (I), который протекает по контуру с индуктивностью L.

    Формула Wm=L2Ic2=12c может быть записана в следующем виде: Wm=1cIi'dΦi'.

    Для справедливости формул Wm=L2Ic2=12c и IΦ=Φ22L незначительно, что виток в процессе возрастания тока остается неподвижным, по той причине, что энергия зависима лишь от состояния системы, а не от способа достижения такого состояния.

    Примеры решения задач

    Пример 2

    Задание: Сила тока в витке эквивалентна I=1 А. Магнитный поток Ф, проходящий через площадь витка составляет 100мкВб. Найдите энергию магнитного поля в витке.

    Решение

    В качестве фундамента решения задачи примем формулу: Wm=12IΦ.

    Переведем величину магнитного потока, заданного в условиях задачи, в систему СИ: 100 мкВб=10-4 Вб.

    Проведем вычисления: Wm=12·1·10-4=5·10-3 (Дж).

    Ответ: Wm=5·10-3 (Дж).

    Пример 3

    Задание: Рядом друг с другом расположены два витка проводника. По первому протекает ток I=1 А. Второй соединен с баллистическим гальванометром, при выключении тока в контуре (1) через гальванометр проходит заряд q=10-8 Кл. Полное сопротивление цепи равно R=5 Ом. Чему равняется взаимная индуктивность витков?

    Решение

    Магнитная энергия (Wm) витка с током может быть записана как: Wm=LI22. С другой стороны энергия витка, который соединен с гальванометром, может быть рассчитана как: Wm'=qU2. Заряд на втором контуре появляется благодаря тому, что он находится в переменном магнитном поле первого витка, и по закону сохранения энергии мы можем записать, что: Wm'=Wm. Следовательно, мы можем приравнять и правые части выражений Wm=LI22 и Wm'=qU2, получим: LI22=qU2LI2=qU. Из уравнения выше выразим индуктивность: L=qUI2. По закону Ома для участка цепи имеем: U=IR. Соответственно: L=qRI.

    Эта задача может быть решена иным способом. Обозначим через ε2 ЭДС индукции, которая вызвана переменным магнитным полем, которое создается в момент выключения тока в первом контуре: ε2=-LdIdt. ЭДС индукции можно записать по закону Ома следующим образом: ε2=I2R, где силу тока найдем как:I2=dqdt, в таком случае выражение ε2=I2R преобразуется в формулу вида: ε2=dqdtR. Приравняем правые части выражений ε2=-LdIdt и ε2=dqdtR, на выходе получим: -LdIdt=dqdtR-LdI=Rdq.

    Проинтегрируем приведенную выше формулу с учетом того, что ток в первом контуре меняется от I до нуля, а заряд во втором от нуля до q, получим: -LI0dI=R0qdqLI=RqL=RqI.

    Данный метод дает абсолютно такой же результат. Таким образом, раз все величины в условиях задачи приведены в системе СИ, произведем вычисления: L=10-8·51=5·10-8 (Гн).

    Ответ: L=50 нГн.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,8 из 5 (20 голосов)