Степень числа: определения, обозначение, примеры, степень с отрицательным показателем

Степень числа: определения, обозначение, примеры

    В рамках этого материала мы разберем, что такое степень числа. Помимо основных определений мы сформулируем, что такое степени с натуральными, целыми, рациональными и иррациональными показателями. Как всегда, все понятия будут проиллюстрированы примерами задач.

    Степени с натуральными показателями: понятие квадрата и куба числа

    Сначала сформулируем базовое определение степени с натуральным показателем. Для этого нам понадобится вспомнить основные правила умножения. Заранее уточним, что в качестве основания будем пока брать действительное число (обозначим его буквой a), а в качестве показателя – натуральное (обозначим буквой n).

    Определение 1

    Степень числа a с натуральным показателем n – это произведение n-ного числа множителей, каждый из которых равен числу а. Записывается степень так: an, а в виде формулы ее состав можно представить следующим образом:

    Например, если показатель степени равен 1, а основание – a, то первая степень числа a записывается как a1. Учитывая, что a – это значение множителя, а 1 – число множителей, мы можем сделать вывод, что a1=a.

    В целом можно сказать, что степень – это удобная форма записи большого количества равных множителей. Так, запись вида 8·8·8·8 можно сократить до 84. Примерно так же произведение помогает нам избежать записи большого числа слагаемых (8+8+8+8=8·4); мы это уже разбирали в статье, посвященной умножению натуральных чисел.

    Как же верно прочесть запись степени? Общепринятый вариант – «a в степени n».  Или можно сказать «n-ная степень a» либо «a n-ной степени». Если, скажем, в примере встретилась запись 812, мы можем прочесть «8 в 12-й степени», «8 в степени 12» или «12-я степень 8-ми».

    Вторая и третья степени числа имеют свои устоявшиеся названия: квадрат и куб. Если мы видим вторую степень, например, числа 7(72), то мы можем сказать «7 в квадрате» или «квадрат числа 7». Аналогично третья степень читается так: 53 – это «куб числа 5» или «5 в кубе». Впрочем, употреблять стандартную формулировку «во второй/третьей степени» тоже можно, это не будет ошибкой.

    Пример 1

    Разберем пример степени с натуральным показателем: для 57 пятерка будет основанием, а семерка – показателем.

    В основании не обязательно должно стоять целое число: для степени (4,32)9 основанием будет дробь 4,32, а показателем – девятка. Обратите внимание на скобки: такая запись делается для всех степеней, основания которых отличаются от натуральных чисел.

    Например: 123, (-3)12, -2352, 2,4355, 73.

    Для чего нужны скобки? Они помогают избежать ошибок в расчетах. Скажем, у нас есть две записи: (2)3 и 23. Первая из них означает отрицательное число минус два, возведенное в степень с натуральным показателем три; вторая – число, соответствующее противоположному значению степени 23.

    Иногда в книгах можно встретить немного другое написание степени числа – a^n (где а – основание, а n - показатель). То есть 4^9 – это то же самое, что и 49. В случае, если n представляет собой многозначное число, оно берется в скобки. Например, 15^ (21), (3,1) ^ (156). Но мы будем использовать обозначение an как более употребительное.

    О том, как вычислить значение степени с натуральным показателем, легко догадаться из ее определения: нужно просто перемножить a n-ное число раз.  Подробнее об этом мы писали в другой статье.

    Понятие степени является обратным другому математическому понятию – корню числа. Если мы знаем значение степени и показатель, мы можем вычислить ее основание. Степень обладает некоторыми специфическими свойствами, полезными для решения задач, которые мы разобрали в рамках отдельного материала.

    Что такое степени с целым показателем

    В показателях степени могут стоять не только натуральные числа, но и вообще любые целые значения, в том числе отрицательные и нули, ведь они тоже принадлежат к множеству целых чисел.

    Определение 2

    Степень числа с целым положительным показателем можно отобразить в виде формулы: .

    При этом n – любое целое положительное число.

    Разберемся с понятием нулевой степени. Для этого мы используем подход, учитывающий свойство частного для степеней с равными основаниями. Оно формулируется так:

    Определение 3

    Равенство am:an=amn будет верно при условиях: m и n – натуральные числа, m <n, a0.

    Последнее условие важно, поскольку позволяет избежать деления на ноль. Если значения m и n равны, то мы получим следующий результат: an:an=ann=a0

    Но при этом an:an=1 - частное равных чисел an и a. Выходит, что нулевая степень любого отличного от нуля числа равна единице.

    Однако такое доказательство не подходит для нуля в нулевой степени. Для этого нам нужно другое свойство степеней – свойство произведений степеней с равными основаниями. Оно выглядит так: am·an=am+n  .      

    Если n у нас равен 0, то am·a0=am (такое равенство также доказывает нам, что a0=1). Но если а также равно нулю, наше равенство приобретает вид 0m·00=0m, Оно будет верным при любом натуральном значении n, и неважно при этом, чему именно равно значение степени 00, то есть оно может быть равно любому числу, и на верность равенства это не повлияет. Следовательно, запись вида 00 своего особенного смысла не имеет, и мы не будем ему его приписывать.

    При желании легко проверить, что a0=1 сходится со свойством степени (am)n=am·n при условии, что основание степени не равно нулю. Таким образом, степень любого отличного от нуля числа с нулевым показателем равна единице.     

    Пример 2

    Разберем пример с конкретными числами: Так, 50  - единица, (33,3)0=1-4590=1, а значение 00 не определено.

    После нулевой степени нам осталось разобраться, что из себя представляет степень отрицательная. Для этого нам понадобится то же свойство произведения степеней с равными основаниями, которое мы уже использовали выше: am·an=am+n.

    Введем условие: m=n, тогда a не должно быть равно нулю. Из этого следует, что an·an=an+n=a0=1. Выходит, что an и an у нас являются взаимно обратными числами.

    В итоге a в целой отрицательной степени есть не что иное, как дробь   1an.

    Такая формулировка подтверждает, что для степени с целым отрицательным показателем действительны все те же свойства, которыми обладает степень с натуральным показателем (при условии, что основание не равно нулю).

    Пример 3

    Степень a с целым отрицательным показателем n можно представить в виде дроби 1an. Таким образом, a-n=1an при условии a0  и n – любое натуральное число.

    Проиллюстрируем нашу мысль конкретными примерами:

    Пример 4

    3-2=132, (-4.2)-5=1(-4.2)5, 1137-1=111371

    В последней части параграфа попробуем изобразить все сказанное наглядно в одной формуле:

    Определение 4

    Степень числа a с натуральным показателем z​​ – это: az=az, eсли z-целое положительное число1,  z=0 и a0,    (при z=0 и a=0 получается 00,     значения выражения 00 не определяется)1az,  если z - целое отрицательное число и a0        (если z - целое отрицательное число и a=0         получается 0z, его значение не определяется)   

    Что такое степени с рациональным показателем

    Мы разобрали случаи, когда в показателе степени стоит целое число. Однако возвести число в степень можно и тогда, когда в ее показателе стоит дробное число. Это называется степенью с рациональным показателем. В этом пункте мы докажем, что она обладает теми же свойствами, что и другие степени.

    Что такое рациональные числа? В их множество входят как целые, так и дробные числа, при этом дробные числа можно представить в виде обыкновенных дробей (как положительных, так и отрицательных). Сформулируем определение степени числа a с дробным показателем m/n, где n – натуральное число, а m – целое.

    У нас есть некоторая степень с дробным показателем amn.  Для того, чтобы свойство степени в степени выполнялось, равенство amnn=amn·n=am должно быть верным.

    Учитывая определение корня n-ной степени и что amnn=am, мы можем принять условие amn=amn, если amn имеет смысл при данных значениях m, n и a.

    Приведенные выше свойства степени с целым показателем будут верными при условии amn=amn.

    Основной вывод из наших рассуждений таков: степень некоторого числа a с дробным показателем m/n – это корень n-ой степени из числа a в степени m. Это справедливо в том случае, если при данных значениях m, n и a выражение amn сохраняет смысл.

    Далее нам необходимо определить, какие именно ограничения на значения переменных накладывает такое условие. Есть два подхода к решению этой проблемы.

    1. Мы можем ограничить значение основания степени: возьмем a, которое при положительных значениях m будет больше или равно 0, а для отрицательных – строго меньше (поскольку при m0 мы получаем 0m, а такая степень не определена). В таком случае определение степени с дробным показателем будет выглядеть следующим образом:

    Степень с дробным показателем m/n для некоторого положительного числа a есть корень n-ной степени из a, возведенного в степень m. В виде формулы это можно изобразить так:

    amn=amn

    Для степени с нулевым основанием это положение также подходит, но только в том случае, если ее показатель – положительное число.

    Степень с нулевым основанием и дробным положительным показателем m/n можно выразить как

    0mn=0mn=0 при условии целого положительного m и натурального n.

    При отрицательном отношении mn<0 степень не определяется, т.е. такая запись смысла не имеет.

    Отметим один момент. Поскольку мы ввели условие, что a больше или равно нулю, то у нас оказались отброшены некоторые случаи.

    Выражение  amn иногда все же имеет смысл при некоторых отрицательных значениях a и некоторых m. Так, верны записи (-5)23, (-1,2)57, -12-84, в которых основание отрицательно.

    2. Второй подход – это рассмотреть отдельно корень  amn с четными и нечетными показателями. Тогда нам потребуется ввести еще одно условие: степень a, в показателе которой стоит сократимая обыкновенная дробь, считается степенью a, в показателе которой стоит соответствующая ей несократимая дробь. Позже мы объясним, для чего нам это условие и почему оно так важно. Таким образом, если у нас есть запись am·kn·k, то мы можем свести ее к amn и упростить расчеты.

    Если n – нечетное число, а значение m – положительно, a – любое неотрицательное число, то  amn имеет смысл. Условие неотрицательного a нужно, поскольку корень четной степени из отрицательного числа не извлекают. Если же значение m положительно, то a может быть и отрицательным, и нулевым, т.к. корень нечетной степени можно извлечь из любого действительного числа.

    Объединим все данные выше определения в одной записи:

    Здесь m/n означает несократимую дробь, m – любое целое число, а n – любое натуральное число.

    Определение 5

    Для любой обыкновенной сократимой дроби m·kn·k степень можно заменить на  amn.

    Степень числа a с несократимым дробным показателем m/n – можно выразить в виде amn в следующих случаях: - для любых действительных a, целых положительных значений m и нечетных натуральных значений n. Пример: 253=253, (-5,1)27=(-5,1)-27, 0519=0519.

    - для любых отличных от нуля действительных a, целых отрицательных значений m и нечетных значений n, например, 2-53=2-53, (-5,1)-27=(-5,1)-27

    - для любых неотрицательных a, целых положительных значений m и четных n, например, 214=214, (5,1)32=(5,1)3, 0718=0718.

    - для любых положительных a, целых отрицательных m и четных n, например, 2-14=2-14, (5,1)-32=(5,1)-3, .

    В случае других значений степень с дробным показателем не определяется. Примеры таких степеней: -2116, -21232, 0-25.

    Теперь объясним важность условия, о котором говорили выше: зачем заменять дробь с сократимым показателем на дробь с несократимым. Если бы мы этого не сделали бы, то получились бы такие ситуации, скажем, 6/10=3/5. Тогда должно быть верным (-1)610=-135, но -1610=(-1)610=110=11010=1, а (-1)35=(-1)35=-15=-155=-1.

    Определение степени с дробным показателем, которое мы привели первым, удобнее применять на практике, чем второе, поэтому мы будем далее пользоваться именно им.

    Определение 6

    Таким образом, степень положительного числа a с дробным показателем m/n определяется как 0mn=0mn=0. В случае отрицательных a запись amn не имеет смысла. Степень нуля для положительных дробных показателей m/n определяется как 0mn=0mn=0, для отрицательных дробных показателей мы степень нуля не определяем.

    В выводах отметим, что можно записать любой дробный показатель как в виде смешанного числа, так и в виде десятичной дроби: 51,7, 325-237.

    При вычислении же лучше заменять показатель степени обыкновенной дробью и далее пользоваться определением степени с дробным показателем. Для примеров выше у нас получится:

     51,7=51710=5710325-237=325-177=325-177   

    Что такое степени с иррациональным и действительным показателем

    Что такое действительные числа? В их множество входят как рациональные, так и иррациональные числа. Поэтому для того, чтобы понять, что такое степень с действительным показателем, нам надо определить степени с рациональными и иррациональными показателями. Про рациональные мы уже упоминали выше. Разберемся с иррациональными показателями пошагово.

    Пример 5

    Допустим, что у нас есть иррациональное число a и последовательность его десятичных приближений a0, a1, a2, .... Например, возьмем значение a=1,67175331...,тогда

    a0=1,6, a1=1,67, a2=1,671, ...,a0=1,67, a1=1,6717, a2=1,671753, ...

     и так далее (при этом сами приближения являются рациональными числами).

    Последовательности приближений мы можем поставить в соответствие последовательность степеней aa0, aa1, aa2, .... Если вспомнить, что мы рассказывали ранее о возведении чисел в рациональную степень, то мы можем сами подсчитать значения этих степеней.

    Возьмем для примера a=3,  тогда aa0=31,67, aa1=31,6717, aa2=31,671753, ... и т.д.

    Последовательность степеней можно свести к числу, которое и будет значением степени c основанием a и иррациональным показателем  a. В итоге : степень с иррациональным показателем вида 31,67175331.. можно свести к числу 6,27.

    Определение 7

    Степень положительного числа a с иррациональным показателем a записывается как aa. Его значение – это предел последовательности aa0, aa1, aa2, ..., где a0, a1, a2, ... являются последовательными десятичными приближениями иррационального числа a. Степень с нулевым основанием можно определить и для положительных иррациональных показателей, при этом 0a=0 Так, 06=0,02133=0. А для отрицательных этого сделать нельзя, поскольку, например, значение 0-5, 0-2π не определено. Единица, возведенная в любую иррациональную степень, остается единицей, например, и 12, 15в2 и 1-5 будут равны 1.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,1 из 5 (17 голосов)