Свойства степеней: формулировки, доказательства, примеры, формулы степеней

Свойства степеней: формулировки, доказательства, примеры

    Ранее мы уже говорили о том, что такое степень числа. Она имеет определенные свойства, полезные в решении задач: именно их и все возможные показатели степени мы разберем в этой статье. Также мы наглядно покажем на примерах, как их можно доказать и правильно применить на практике.

    Свойства степени с натуральным показателем

    Вспомним уже сформулированное нами ранее понятие степени с натуральным показателем: это произведение n-ного количества множителей, каждый из которых равен а. Также нам понадобится вспомнить, как правильно умножать действительные числа. Все это поможет нам сформулировать для степени с натуральным показателем следующие свойства:

    Определение 1

    1. Главное свойство степени: am·an=am+n

    Можно обобщить до: an1·an2··ank=an1+n2++nk.

    2. Свойство частного для степеней, имеющих одинаковые основания: am:an=amn 

    3. Свойство степени произведения: (a·b)n=an·bn

    Равенство можно расширить до: (a1·a2··ak)n=a1n·a2n··akn 

    4. Свойство частного в натуральной степени: (a:b)n=an:bn 

    5. Возводим степень в степень: (am)n=am·n,

    Можно обобщить до:(((an1)n2))nk=an1·n2··nk

    6. Сравниваем степень с нулем:

    • если a>0, то при любом натуральном n, an будет больше нуля;
    • при a, равном 0, an также будет равна нулю;
    • при a<0 и таком показателе степени, который будет четным числом 2·m, a2·m будет больше нуля;
    • при a <0 и таком показателе степени, который будет нечетным числом 2·m1, a2·m1 будет меньше нуля.

    7. Равенство an<bn будет справедливо для любого натурального n при условии, что a и b больше нуля и не равны друг другу.

    8. Неравенство am>an будет верным при условии, что m и n – натуральные числа, m больше n и а больше нуля и меньше единицы.

    В итоге мы получили несколько равенств; если соблюсти все условия, указанные выше, то они будут тождественными. Для каждого из равенств, например, для основного свойства, можно поменять местами правую и левую часть: am·an=am+n - то же самое, что и am+n=am·an. В таком виде оно часто используется при упрощении выражений.

    Далее мы разберем каждое свойство подробно и попробуем привести доказательства.

    1. Начнем с основного свойства степени: равенство am·an=am+n будет верным при любых натуральных m и n и действительном a. Как доказать это утверждение?

    Основное определение степеней с натуральными показателями позволит нам преобразовать равенство в произведение множителей. Мы получим запись такого вида:

    Это можно сократить до  (вспомним основные свойства умножения). В итоге мы получили степень числа a с натуральным показателем m+n. Таким образом, am+n, значит, основное свойство степени доказано.

    Разберем конкретный пример, подтверждающий это.

    Пример 1

    Итак, у нас есть две степени с основанием 2. Их натуральные показатели - 2 и 3 соответственно. У нас получилось равенство: 22·23=22+3=25 Вычислим значения, чтобы проверить верность этого равенства.

    Выполним необходимые математические действия: 22·23=(2·2)·(2·2·2)=4·8=32 и 25=2·2·2·2·2=32

    В итоге у нас вышло: 22·23=25. Свойство доказано.

    В силу свойств умножения мы можем выполнить обобщение свойства, сформулировав его в виде трех и большего числа степеней, у которых показатели являются натуральными числами, а основания одинаковы. Если обозначить количество натуральных чисел n1, n2 и др. буквой k, мы получим верное равенство:

    an1·an2··ank=an1+n2++nk.

    Пример 2

    Пример с конкретными числами (легко посчитать самостоятельно): (2,1)3·(2,1)3·(2,1)4·(2,1)7=(2,1)3+3+4+7=(2,1)17.

    2. Далее нам необходимо доказать следующее свойство, которое называется свойством частного и присуще степеням с одинаковыми основаниями: это равенство am:an=amn, которое справедливо при любых натуральным m и n (причем m больше n) ) и любом отличном от нуля действительном a.

    Для начала поясним, каков именно смысл условий, которые упомянуты в формулировке. Если мы возьмем a, равное нулю, то в итоге у нас получится деление на нуль, чего делать нельзя (ведь 0n=0). Условие, чтобы число m обязательно было больше n, нужно для того, чтобы мы могли удержаться в рамках натуральных показателей степени: вычтя n из m, мы получим натуральное число. Если условие не будет соблюдено, у нас получится отрицательное число или ноль, и опять же мы выйдем за пределы изучения степеней с натуральными показателями.

    Теперь мы можем перейти к доказательству. Из ранее изученного вспомним основные свойства дробей и сформулируем равенство так:

    amn·an=a(mn)+n=am

    Из него можно вывести: amn·an=am

    Вспомним про связь деления и умножения. Из него следует, что amn– частное степеней am и an. Это и есть доказательство второго свойства степени.

    Пример 3

    Подставим конкретные числа для наглядности в показатели, а основание степени обозначим π: π5:π2=π53=π3

    3. Следующим мы разберем свойство степени произведения: (a·b)n=an·bn при любых действительных a и b и натуральном n.

    Согласно базовому определению степени с натуральным показателем мы можем переформулировать равенство так:

    Вспомнив свойства умножения, запишем: . Это значит то же самое, что и an·bn.

    Пример 4

    23·-4254=234·-4254

    Если множителей у нас три и больше, то это свойство также распространяется и на этот случай. Введем для числа множителей обозначение k и запишем:

    (a1·a2··ak)n=a1n·a2n··akn

    Пример 5

    С конкретными числами получим следующее верное равенство: (2·(-2,3)·a)7=27·(-2,3)7·a

    4. После этого мы попробуем доказать свойство частного: (a:b)n=an:bn при любых действительных a и b, если b не равно 0, а n – натуральное число.

    Для доказательства можно использовать предыдущее свойство степени. Если (a:b)n·bn=((a:b)·b)n=an , а (a:b)n·bn=an, то из этого выходит, что (a:b)n есть частное от деления an на bn.

    Пример 6

    Подсчитаем пример: 312:-0.53=3123:(-0,5)3

    5. Далее мы поговорим о свойстве возведения степени в степень: (am)n=am·n для любого действительного a и любых натуральных n и m.

    Пример 7

    Начнем сразу с примера: (52)3=52·3=56

    А теперь сформулируем цепочку равенств, которая докажет нам верность равенства:

    Если у нас в примере есть степени степеней, то это свойство справедливо для них также. Если у нас есть любые натуральные числа p, q, r, s, то верно будет:

    apqys=ap·q·y·s

    Пример 8

    Добавим конкретики: (((5,2)3)2)5=(5,2)3+2+5=(5,2)10

    6. Еще одно свойство степеней с натуральным показателем, которое нам нужно доказать, – свойство сравнения.

    Для начала сравним степень с нулем. Почему an>0 при условии, что а больше 0?

    Если умножить одно положительное число на другое, то мы получим также положительное число. Зная этот факт, мы можем сказать, что от числа множителей это не зависит – результат умножения любого числа положительных чисел есть число положительное. А что же такое степень, как не результат умножения чисел? Тогда для любой степени an с положительным основанием и натуральным показателем это будет верно.

    Пример 9

     35>0, (0,00201)2>0 и 3491351>0

    Также очевидно, что степень с основанием, равным нулю, сама есть ноль. В какую бы степень мы не возводили ноль, он останется им.

    Пример 10

    03=0 и 0762=0

    Если основание степени – отрицательное число, тот тут доказательство немного сложнее, поскольку важным становится понятие четности/нечетности показателя. Возьмем для начала случай, когда показатель степени четный, и обозначим его 2·m, где m – натуральное число.

    Тогда:

    Вспомним, как правильно умножать отрицательные числа: произведение a·a равно произведению модулей, а, следовательно, оно будет положительным числом. Тогда  и степень a2·m также положительны.

    Пример 11

    Например, (6)4>0, (2,2)12>0 и -296>0

    А если показатель степени с отрицательным основанием – нечетное число? Обозначим его 2·m1.

    Тогда  

    Все произведения a·a, согласно свойствам умножения, положительны, их произведение тоже. Но если мы его умножим на единственное оставшееся число a, то конечный результат будет отрицателен.

    Тогда получим: (5)3<0, (0,003)17<0 и -111029<0

    7. Далее разберем следующее свойство, формулировка которого такова: из двух степеней, имеющих одинаковый натуральный показатель, больше та, основание которой больше (и наоборот).

    Как это доказать?

    an<bn– неравенство, представляющее собой произведение левых и правых частей nверных неравенств a<b. Вспомним основные свойства неравенств справедливо и an<bn.

    Пример 12

    Например, верны неравенства: 37<(2,2)7 и 3511124>(0,75)124

    8. Нам осталось доказать последнее свойство: если у нас есть две степени, основания которых одинаковы и положительны, а показатели являются натуральными числами, то та из них больше, показатель которой меньше; а из двух степеней с натуральными показателями и одинаковыми основаниями, большими единицы, больше та степень, показатель которой больше.

    Докажем эти утверждения.

    Для начала нам нужно убедиться, что am<an при условии, что m больше, чем n, и а больше 0, но меньше 1.Теперь сравним с нулем разность aman

    Вынесем an за скобки, после чего наша разность примет вид an·(amn1). Ее результат будет отрицателен (поскольку отрицателен результат умножения положительного числа на отрицательное). Ведь согласно начальным условиям, mn>0, тогда amn1–отрицательно, а первый множитель положителен, как и любая натуральная степень с положительным основанием.

    У нас вышло, что aman<0 и am<an. Свойство доказано.

    Осталось привести доказательство второй части утверждения, сформулированного выше: am>a справедливо при m>n и a>1. Укажем разность и вынесем an за скобки: (amn1).Степень an при а, большем единицы, даст положительный результат; а сама разность также окажется положительна в силу изначальных условий, и при a>1 степень amn больше единицы. Выходит, aman>0 и am>an, что нам и требовалось доказать.

    Пример 13

    Пример с конкретными числами: 37>32

    Основные свойства степеней с целыми показателями

    Для степеней с целыми положительными показателями свойства будут аналогичны, потому что целые положительные числа являются натуральными, а значит, все равенства, доказанные выше, справедливы и для них. Также они подходят и для случаев, когда показатели отрицательны или равны нулю (при условии, что само основание степени ненулевое).

    Таким образом, свойства степеней такие же для любых оснований a и b (при условии, что эти числа действительны и не равны 0) и любых показателей m и n (при условии, что они являются целыми числами). Запишем их кратко в виде формул:

    Определение 2

    1. am·an=am+n 

    2. am:an=amn

    3. (a·b)n=an·bn

    4. (a:b)n=an:bn

    5. (am)n=am·n 

    6. an<bn и an>bn при условии целого положительного n, положительных a и b, a<b 

    7. am<an, при условии целых m и n, m>n и 0<a<1, при a>1   am>an.

    Если основание степени равно нулю, то записи am и an имеют смысл только лишь в случае натуральных и положительных m и n. В итоге получим, что формулировки выше подходят и для случаев со степенью с нулевым основанием, если соблюдаются все остальные условия.

    Доказательства этих свойств в данном случае несложные. Нам потребуется вспомнить, что такое степень с натуральным и целым показателем, а также свойства действий с действительными числами.

    Разберем свойство степени в степени и докажем, что оно верно и для целых положительных, и для целых неположительных чисел. Начнем с доказательства равенств (ap)q=ap·q, (ap)q=a(p)·q, (ap)q=ap·(q) и (ap)q=a(p)·(q)

    Условия: p=0 или натуральное число; q– аналогично.

    Если значения p и q больше 0, то у нас получится (ap)q=ap·q. Схожее равенство мы уже доказывали раньше. Если p=0, то:

    (a0)q=1q=1 a0·q=a0=1

    Следовательно, (a0)q=a0·q

    Для q=0 все точно так же:

    (ap)0=1 ap·0=a0=1

    Итог: (ap)0=ap·0.

    Если же оба показателя нулевые, то (a0)0=10=1 и a0·0=a0=1, значит, (a0)0=a0·0.

    Далее разберем равенство (ap)q=a(p)·q. Согласно определению степени с целым отрицательным показателем имеем a-p=1ap, значит, (a-p)q=1apq.

    Вспомним доказанное выше свойство частного в степени и запишем:

    1apq=1qapq

    Если 1p=1·1··1=1 иapq=ap·q, то 1qapq=1ap·q

    Эту запись мы можем преобразовать в силу основных правил умножения в a(p)·q.

    Так же: ap-q=1(ap)q=1ap·q=a-(p·q)=ap·(-q).

    И (a-p)-q=1ap-q=(ap)q=ap·q=a(-p)·(-q)

    Остальные свойства степени можно доказать аналогичным образом, преобразовав имеющиеся неравенства. Подробно останавливаться мы на этом не будем, укажем только сложные моменты.

    Доказательство предпоследнего свойства: вспомним, an>bn верно для любых целых отрицательных значений nи любых положительных a и b при условии, что a меньше b.

    Тогда неравенство можно преобразовать следующим образом:

    1an>1bn

    Запишем правую и левую части в виде разности и выполним необходимые преобразования:

    1an-1bn=bn-anan·bn

    Вспомним, что в условии a меньше b, тогда, согласно определению степени с натуральным показателем: - an<bn, в итоге: bnan>0.

    an·bn в итоге дает положительное число, поскольку его множители положительны. В итоге мы имеем дробь bn-anan·bn, которая в итоге также дает положительный результат. Отсюда 1an>1bn откуда an>bn, что нам и нужно было доказать.

    Последнее свойство степеней с целыми показателями доказывается аналогично свойству степеней с показателями натуральными.

    Основные свойства степеней с рациональными показателями

    В предыдущих статьях мы разбирали, что такое степень с рациональным (дробным) показателем. Их свойства такие же, что и у степеней с целыми показателями. Запишем:

    Определение 3

    1. am1n1·am2n2=am1n1+m2n2 при a>0, а если m1n1>0 и m2n2>0, то при a0 ( свойство произведения степеней с одинаковыми основаниями).

    2.am1n1:bm2n2=am1n1-m2n2 , если a>0 (свойство частного).

    3. a·bmn=amn·bmn при a>0 и b>0, а если m1n1>0 и m2n2>0, то при a0 и (или) b0 (свойство произведения в дробной степени).

    4. a:bmn=amn:bmn при a>0 и b>0, а если mn>0, то при a0 и b>0 (свойство частного в дробной степени).

    5. am1n1m2n2=am1n1·m2n2 при a>0, а если m1n1>0 и m2n2>0, то при a0 (свойство степени в степени).

    6. ap<bp при условии любых положительных a и b, a<b и рациональном p при p>0; если p<0 - ap>bp (свойство сравнения степеней с равными рациональными показателями).

    7. ap<aq при условии рациональных чисел p и q, p>q при 0<a<1; если a>0ap>aq

    Для доказательства указанных положений нам понадобится вспомнить, что такое степень с дробным показателем, каковы свойства арифметического корня n-ной степени и каковы свойства степени с целыми показателем. Разберем каждое свойство.

    Согласно тому, что из себя представляет степень с дробным показателем, получим:

    am1n1=am1n1 и am2n2=am2n2, следовательно, am1n1·am2n2=am1n1·am2n2

    Свойства корня позволят нам вывести равенства:

    am1·m2n1·n2·am2·m1n2·n1=am1·n2·am2·n1n1·n2

    Из этого получаем:  am1·n2·am2·n1n1·n2=am1·n2+m2·n1n1·n2

    Преобразуем:

    am1·n2·am2·n1n1·n2=am1·n2+m2·n1n1·n2

    Показатель степени можно записать в виде:

    m1·n2+m2·n1n1·n2=m1·n2n1·n2+m2·n1n1·n2=m1n1+m2n2

    Это и есть доказательство. Второе свойство доказывается абсолютно так же. Запишем цепочку равенств:

    am1n1: am2n2=am1n1: am2n2=am1·n2:am2·n1n1·n2==am1·n2-m2·n1n1·n2=am1·n2-m2·n1n1·n2=am1·n2n1·n2-m2·n1n1·n2=am1n1-m2n2

    Доказательства остальных равенств:

    a·bmn=(a·b)mn=am·bmn=amn·bmn=amn·bmn;(a:b)mn=(a:b)mn=am:bmn==amn:bmn=amn:bmn;am1n1m2n2=am1n1m2n2=am1n1m2n2==am1m2n1n2=am1·m2n1n2==am1·m2n2·n1=am1·m2n2·n1=am1n1·m2n2

    Следующее свойство: докажем, что для любых значений a и b больше 0, если а меньше b, будет выполняться ap<bp, а для p больше 0 - ap>bp

    Представим рациональное число p как mn. При этом m–целое число, n–натуральное. Тогда условия p<0 и p>0 будут распространяться на m<0 и m>0. При m>0 и a<b имеем (согласно свойству степени с целым положительным показателем), что должно выполняться неравенство am<bm.

    Используем свойство корней и выведем: amn<bmn

    Учитывая положительность значений a и b, перепишем неравенство как amn<bmn. Оно эквивалентно ap<bp.

    Таким же образом при m<0 имеем a am>bm, получаем amn>bmn значит, amn>bmn и ap>bp.

    Нам осталось привести доказательство последнего свойства. Докажем, что для рациональных чисел p и q, p>q при 0<a<1 ap<aq, а при a>0 будет верно ap>aq.

    Рациональные числа p и q можно привести к общему знаменателю и получить дроби m1n и m2n

    Здесь m1 и m2 – целые числа, а n – натуральное. Если p>q, то m1>m2 (учитывая правило сравнения дробей). Тогда при 0<a<1 будет верно am1<am2, а при a>1 – неравенство a1m>a2m.

    Их можно переписать в следующем виде:

    am1n<am2nam1n>am2n

    Тогда можно сделать преобразования и получить в итоге:

    am1n<am2nam1n>am2n

    Подводим итог: при p>q и 0<a<1 верно ap<aq, а при a>0ap>aq.

    Основные свойства степеней с иррациональными показателями

    На такую степень можно распространить все описанные выше свойства, которыми обладает степень с рациональными показателями. Это следует из самого ее определения, которое мы давали в одной из предыдущих статей. Сформулируем кратко эти свойства (условия: a>0, b>0, показатели p и q– иррациональные числа):

    Определение 4

    1. ap·aq=ap+q 

    2. ap:aq=apq 

    3. (a·b)p=ap·bp

    4. (a:b)p=ap:bp 

    5. (ap)q=ap·q

    6. ap<bp верно при любых положительных a и b, если a<b и p – иррациональное число больше 0; если p меньше 0, то ap>bp 

    7. ap<aq верно, если p и q– иррациональные числа, p<q, 0<a<1; если a>0, то ap>aq.

    Таким образом, все степени, показатели которых p и q являются действительными числами, при условии a>0 обладают теми же свойствами.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,3 из 5 (6 голосов)