Возведение в степень: правила, примеры, дробная степень

Возведение в степень: правила, примеры

    Мы разобрались, что вообще из себя представляет степень числа. Теперь нам надо понять, как правильно выполнять ее вычисление, т.е. возводить числа в степень. В этом материале мы разберем основные правила вычисления степени в случае целого, натурального, дробного, рационального и иррационального показателя. Все определения будут проиллюстрированы примерами.

    Понятие возведения в степень

    Начнем с формулирования базовых определений.

    Определение 1

    Возведение в степень - это вычисление значения степени некоторого числа.

    То есть слова "вычисление значение степени" и "возведение в степень" означают одно и то же. Так, если в задаче стоит "Возведите число 0,5 в пятую степень", это следует понимать как "вычислите значение степени (0,5)5.

    Теперь приведем основные правила, которым нужно придерживаться при таких вычислениях.

    Как возвести число в натуральную степень

    Вспомним, что такое степень числа с натуральным показателем. Для степени с основанием a и показателем n это будет произведение n-ного числа множителей, каждый из которых равен a. Это можно записать так:

    Чтобы вычислить значение степени, нужно выполнить действие умножения, то есть перемножить основания степени указанное число раз. На умении быстро умножать и основано само понятие степени с натуральным показателем. Приведем примеры.

    Пример 1

    Условие: возведите -2 в степень 4.

    Решение

    Используя определение выше, запишем: (2)4=(2)·(2)·(2)·(2). Далее нам нужно просто выполнить указанные действия и получить 16.

    Возьмем пример посложнее.

    Пример 2

    Вычислите значение 3272

    Решение

    Данную запись можно переписать в виде 327·327. Ранее мы рассматривали, как правильно умножать смешанные числа, упомянутые в условии.

    Выполним эти действия и получим ответ: 327·327=237·237=52949=103949

    Если в задаче указана необходимость возводить иррациональные числа в натуральную степень, нам потребуется предварительно округлить их основания до разряда, который позволит нам получить ответ нужной точности. Разберем пример.

    Пример 3

    Выполните возведение в квадрат числа π.

    Решение

    Для начала округлим его до сотых. Тогда π2(3,14)2=9,8596. Если же π3.14159, то мы получим более точный результат: π2(3,14159)2=9,8695877281.

    Отметим, что необходимость высчитывать степени иррациональных чисел на практике возникает сравнительно редко. Мы можем тогда записать ответ в виде самой степени (ln 6)3 или преобразовать, если это возможно: 57=1255.

    Отдельно следует указать, что такое первая степень числа. Тут можно просто запомнить, что любое число, возведенное в первую степень, останется самим собой:

    a1=a

    Это понятно из записи .

    От основания степени это не зависит.

    Пример 4

    Так, (9)1=9, а 73, возведенное в первую степень, останется равно  73.

    Как возвести число в целую степень

    Для удобства разберем отдельно три случая: если показатель степени - целое положительное число, если это ноль и если это целое отрицательное число.

    В первое случае это то же самое, что и возведение в натуральную степень: ведь целые положительные числа принадлежат ко множеству натуральных. О том, как работать с такими степенями, мы уже рассказали выше.

    Теперь посмотрим, как правильно возводить в нулевую степень. При основании, которое отличается от нуля, это вычисление всегда дает на выходе 1. Ранее мы уже поясняли, что 0-я степень a может быть определена для любого действительного числа, не равного 0, и a0=1.

    Пример 5

    Примеры:

    50=1, (-2,56)0=1230=1

    00- не определен.

    У нас остался только случай степени с целым отрицательным показателем. Мы уже разбирали, что такие степени можно записать в виде дроби 1az, где а - любое число, а z - целый отрицательный показатель. Мы видим, что знаменатель этой дроби есть не что иное, как обыкновенная степень с целым положительным показателем, а ее вычислять мы уже научились. Приведем примеры задач.

    Пример 6

    Возведите 3 в степень -2.

    Решение 

    Используя определение выше, запишем: 2-3=123

    Подсчитаем знаменатель этой дроби и получим 8: 23=2·2·2=8.

    Тогда ответ таков: 2-3=123=18

    Пример 7

    Возведите 1,43 в степень -2.

    Решение 

    Переформулируем: 1,43-2=1(1,43)2

    Вычисляем квадрат в знаменателе: 1,43·1,43. Десятичные дроби можно умножить таким способом:

    В итоге у нас вышло (1,43)-2=1(1,43)2=12,0449. Этот результат нам осталось записать в виде обыкновенной дроби, для чего необходимо умножить ее на 10 тысяч (см. материал о преобразовании дробей).

    Ответ: (1,43)-2=1000020449

    Отдельный случай - возведение числа в минус первую степень. Значение такой степени равно числу, обратному исходному значению основания: a-1=1a1=1a.

    Пример 8

    Пример: 31=1/3

    913-1=13964-1=164 .

    Как возвести число в дробную степень

    Для выполнения такой операции нам потребуется вспомнить базовое определение степени с дробным показателем: amn=amnпри любом положительном a, целом m и натуральном n.

    Определение 2

    Таким образом, вычисление дробной степени нужно выполнять в два действия: возведение в целую степень и нахождение корня n-ной степени.

    У нас есть равенство amn=amn, которое, учитывая свойства корней, обычно применяется для решения задач в виде amn=anm. Это значит, что если мы возводим число a в дробную степень m/n, то сначала мы извлекаем корень n-ной степени из а, потом возводим результат в степень с целым показателем m.

    Проиллюстрируем на примере.  

    Пример 9

    Вычислите 8-23.

    Решение

    Способ 1. Согласно основному определению, мы можем представить это в виде: 8-23=8-23

    Теперь подсчитаем степень под корнем и извлечем корень третьей степени из результата: 8-23=1643=133643=133433=14

    Способ 2. Преобразуем основное равенство: 8-23=8-23=83-2

    После этого извлечем корень 83-2=233-2=2-2 и результат возведем в квадрат: 2-2=122=14

    Видим, что решения идентичны. Можно пользоваться любым понравившимся способом.

    Бывают случаи, когда степень имеет показатель, выраженный смешанным числом или десятичной дробью. Для простоты вычислений его лучше заменить обычной дробью и считать, как указано выше.

    Пример 10

    Возведите 44,89 в степень 2,5.

    Решение 

    Преобразуем значение показателя в обыкновенную дробь -44,892,5=49,8952.

    А теперь выполняем по порядку все действия, указанные выше: 44,8952=44,895=44,895=44891005=44891005=6721025=67105==1350125107100000=13 501,25107

    Ответ: 13 501,25107.

    Если в числителе и знаменателе дробного показателя степени стоят большие числа, то вычисление таких степеней с рациональными показателями - довольно сложная работа. Для нее обычно требуется вычислительная техника.

    Отдельно остановимся на степени с нулевым основанием и дробным показателем. Выражению вида 0mn можно придать такой смысл: если mn>0, то 0mn=0mn=0; если mn<0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0712=0, 0325=0, 00,024=0, а в целую отрицательную - значения не имеет: 0-43.

    Как возвести число в иррациональную степень

    Необходимость вычислить значение степени, в показателе которой стоит иррациональное число, возникает не так часто. На практике обычно задача ограничивается вычислением приблизительного значения (до некоторого количества знаков после запятой). Обычно это считают на компьютере из-за сложности таких подсчетов, поэтому подробно останавливаться на этом не будем, укажем лишь основные положения.

    Если нам нужно вычислить значение степени a с иррациональным показателем a, то мы берем десятичное приближение показателя и считаем по нему. Результат и будет приближенным ответом. Чем точнее взятое десятичное приближение, тем точнее ответ. Покажем на примере:

    Пример 11

    Вычислите приближенное значение 21,174367....

    Решение

    Ограничимся десятичным приближением an=1,17. Проведем вычисления с использованием этого числа: 21,172,250116. Если же взять, к примеру, приближение an=1,1743, то ответ будет чуть точнее: 21,174367...21,17432,256833.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    5,0 из 5 (16 голосов)