Нахождение пересечения и объединения числовых множеств, что такое пересечение множеств, как обозначается пересечение множеств
Мы помогаем студентам с дипломными, курсовыми, контрольными Узнать стоимость

Нахождение пересечения и объединения числовых множеств, что такое пересечение множеств

    Решение некоторых математических задач предполагает нахождение пересечения и объединения числовых множеств. В статье ниже рассмотрим эти действия подробно, в том числе, на конкретных примерах. Полученный навык будет применим для решения неравенств с одной переменной и систем неравенств.

    Простейшие случаи

    Когда мы говорим о простейших случаях в рассматриваемой теме, то имеем в виду нахождение пересечения и объединения числовых множеств, представляющих из себя набор отдельных чисел. В подобных случаях будет достаточно использования определения пересечения и объединения множеств.

    Определение 1

    Объединение двух множеств – это множество, в котором каждый элемент является элементом одного из исходных множеств.

    Пересечение множеств – это множество, которое состоит из всех общих элементов исходных множеств.

    Из указанных определений логически следуют следующие правила:

    - чтобы составить объединение двух числовых множеств, имеющих конечное количество элементов, необходимо записать все элементы одного множества и дописать к ним недостающие элементы из второго множества;

    - чтобы составить пересечение двух числовых множеств, необходимо элементы первого множества один за другим проверить на принадлежность второму множеству. Те из них, которые окажутся принадлежащими обоим множествам и будут составлять пересечение.

    Полученное согласно первому правилу множество будет включать в себя все элементы, принадлежащие хотя бы одному из исходных множеств, т.е. станет объединением этих множеств по определению.

    Множество, полученное согласно второму правилу, будет включать в себя все общие элементы исходных множеств, т.е. станет пересечением исходных множеств.

    Рассмотрим применение полученных правил на практических примерах.

    Пример 1

    Исходные данные: числовые множества А = {3, 5, 7, 12} и В = {2, 5, 8, 11, 12, 13}. Необходимо найти объединение и пересечение исходных множеств.

    Решение

    1. Определим объединение исходных множеств. Запишем все элементы, к примеру, множества А: 3, 5, 7, 12. Добавим к ним недостающие элементы множества В: 2, 8, 11 и 13. В конечном итоге имеем числовое множество: {3, 5, 7, 12, 2, 8, 11, 13}. Упорядочим элементы полученного множества и получим искомое объединение: АB = {2, 3, 5, 7, 8, 11, 12, 13}.
    2. Определим пересечение исходных множеств. Согласно правилу, переберем один за другим все элементы первого множества A и проверим, входят ли они во множество B. Рассмотрим первый элемент - число 3: он не принадлежит множеству B, а значит не будет являться элементом искомого пересечения. Проверим второй элемент множества A, т.е. число 5: оно принадлежит множеству B, а значит станет первым элементом искомого пересечения. Третий элемент множества A – число 7. Оно не является элементом множества B, а, следовательно, не является элементом пересечения. Рассмотрим последний элемент множества A: число 1. Оно также принадлежит и множеству B, и соответственно станет одним из элементов пересечения. Таким образом, пересечение исходных множеств – множество, состоящее из двух элементов: 5 и 12, т.е. АВ = {5, 12}.

    Ответ: объединение исходных множеств – АB = {2, 3, 5, 7, 8, 11, 12, 13}; пересечение исходных множеств - АВ = {5, 12}.

    Все вышесказанное относится к работе с двумя множествами. Что же касается нахождения пересечения и объединения трех и более множеств, то решение этой задачи возможно свести к последовательному нахождению пересечения и объединения двух множеств. Например, чтобы определить пересечение трех множеств A, В и С, возможно сначала определить пересечение A и B, а затем найти пересечение полученного результата с множеством C. На примере это выглядит так: пусть будут заданы числовые множества: А = {3, 9, 4, 3, 5, 21}, В = {2,7, 9, 21} и С = {7, 9, 1, 3}. Пересечение первых двух множеств составит: АВ = {9, 21}, а пересечение полученного множества с множеством АВ = {9, 21}. В итоге: АВС = {9}.

    Однако на практике, чтобы найти объединение и пересечение трех и более простейших числовых множеств, которые состоят из конечного количества отдельных чисел, удобнее применять правила, аналогичные указанным выше.

    Т.е., чтобы найти объединение трех и более множеств указанного типа, необходимо к элементам первого множества добавить недостающие элементы второго множества, затем – третьего и т.д. Для пояснения возьмем числовые множества: А = {1, 2}, В = {2, 3}, С = {1, 3, 4, 5}. К элементам первого множества A добавится число 3 из множества B, а затем – недостающие числа 4 и 5 множества C. Таким образом, объединение исходных множеств: АВС = {1, 2, 3, 4, 5}.

    Что же касается решения задачи на нахождение пересечения трех и более числовых множеств, которые состоят из конечного количества отдельных чисел, необходимо одно за другим перебрать числа первого множества и поэтапно проверять, принадлежит ли рассматриваемое число каждому из оставшихся множеств. Для пояснения рассмотрим числовые множества:

    А = {3, 1, 7, 12, 5, 2} В = {1, 0, 2, 12} С = {7, 11, 2, 1, 6} D = {1, 7, 15, 8, 2, 6}.

    Найдем пересечение исходных множеств. Очевидно, что множество B имеет меньше всего элементов, поэтому именно их мы будем проверять, определяя, входят ли они в остальные множества. Число 1 множества B является элементом и прочих множеств, а значит является первым элементом искомого пересечения. Второе число множества B – число 0 – не является элементом множества A, а, следовательно, не станет элементом пересечения. Продолжаем проверку: число 2 множества B является элементом прочих множеств и становится еще одной частью пересечения. Наконец, последний элемент множества B – число 12 – не является элементом множества D и не является элементом пересечения. Таким образом, получаем: ABCD = {1, 2}.

    Координатная прямая и числовые промежутки как объединение их частей

    Отметим на координатной прямой произвольную точку, например, с координатой -5,4. Указанная точка разобьет координатную прямую на два числовых промежутка – два открытых луча (-∞, -5,4) и (-5,4, +∞) и собственно точку. Нетрудно увидеть, что в соответствии с определением объединения множеств любое действительное число будет принадлежать объединению (-, -5,4) {-5,4} (-5,4, +). Т.е. множество всех действительных чисел R = (-; +) возможно представить в виде полученного выше объединения. И наоборот, полученное объединение будет являться множеством всех действительных чисел.

    Отметим, что заданную точку возможно присоединить к любому из открытых лучей, тогда он станет простым числовым лучом (-, -5,4] или [-5,4, +). При этом множество R будет описываться следующими объединениями: (-, -5,4]  (-5,4, +) или (-, -5,4)  [-5,4, +)..

    Подобные рассуждения действительны не только относительно точки координатной прямой, но и относительно точки на любом числовом промежутке. Т.е., если мы возьмем любую внутреннюю точку любого произвольного промежутка, его возможно будет представить, как объединение его частей, полученных после деления заданной точкой, и самой точки. К примеру, задан полуинтервал (7, 32] и точка 13, принадлежащая этому числовому промежутку. Тогда заданный полуинтервал можно представить в виде объединения (7, 13)  {13}  (13, 32] и обратно. Мы можем включить число 13 в любой из промежутков и тогда заданное множество (7, 32] можно представить, как (7, 13]  (13, 32] или (7, 13]  (13, 32]. Также мы можем взять в качестве исходных данных не внутреннюю точку заданного полуинтервала, а его конец (точку с координатой 32), тогда заданный полуинтервал можно представить, как объединение интервала (7, 32) и множества из одного элемента {32}. Таким образом: (7, 32] = (7, 32)  {32}.

    Еще один вариант: когда берется не одна, а несколько точек на координатной прямой или числовом промежутке. Эти точки разобьют координатную прямую или числовой промежуток на несколько числовых промежутков, а объединение этих промежутков будут составлять исходные множества. К примеру, на координатной прямой заданы точки с координатами -6, 0, 8, которые разобьют ее на промежутки: (-, -6), (-6,0), (0, 8), (8, +). При этом множество всех действительных чисел, олицетворением чего и является координатная прямая, возможно представить в виде объединения полученных промежутков и указанных чисел:

    (-, -6)  {-6} (-6,0)  {0}  (0, 8)  {8}  (8, +).

    Как определить пересечение и объединение при помощи изображений числовых множеств

    С темой нахождения пересечения и объединения множеств возможно наглядно разобраться, если использовать изображения заданных множеств на координатной прямой (если только речь – не о простейших случаях, рассмотренных в самом начале статьи).

    Мы рассмотрим общий подход, который позволяет определить результат пересечения и объединения двух числовых множеств. Опишем подход в виде алгоритма. Рассматривать его шаги будем постепенно, каждый раз приводя очередной этап решения конкретного примера.

    Пример 2

    Исходные данные: заданы числовые множества А = (7, +) и В = [-3, +). Необходимо найти пересечение и объединение данных множеств.

    Решение

    1. Изобразим заданные числовые множества на координатных прямых. Их необходимо расположить друг над другом. Для удобства принято считать, что точки начала отсчета заданных множеств совпадают, и остается сохранным расположение точек друг относительно друга: любая точка с большей координатой лежит правее точки с меньшей координатой. При этом, если нам интересно объединение множеств, то координатные прямые объединяют слева квадратной скобкой совокупности; если интересует пересечение, то – фигурной скобкой системы.

    В нашем примере для записи пересечения и объединения числовых множеств имеем: и

    Изобразим еще одну координатную прямую, расположив ее под уже имеющимися. Она понадобится для отображения искомого пересечения или объединения. На этой координатной прямой отмечают все граничные точки исходных числовых множеств: сначала черточками, а позже, после выяснения характера точек с этими координатами, черточки будет заменены выколотыми или невыколотыми точками. В нашем примере это точки с координатами -3 и 7.

    Получим:

    и

    Точки, которые изображены на нижней координатной прямой в предыдущем шаге алгоритма, дают возможность рассматривать координатную прямую как набор числовых промежутков и точек (об этом мы говорили выше). В нашем примере координатную прямую представим в виде набора пяти числовых множеств: (-, -3), {-3}, (-3, 7), {7}, (7, +).

    Теперь необходимо поочередно проверить принадлежность каждого из записанных множеств искомому пересечению или объединению. Получаемые выводы поэтапно отмечаются на нижней координатной прямой: когда промежуток является частью пересечения или объединения, над ним рисуется штриховка. Когда точка входит в пересечение или объединение, то штрих заменяется на сплошную точку; если точка не является частью пересечения или объединения – ее делают выколотой. В этих действиях нужно придерживаться таких правил:

    -. промежуток становится частью пересечения, если он одновременно является частью множества A и множества B (или иными словами – если есть штриховка над этим промежутком на обеих координатных прямых, отображающих множества А и B);

    - точка становится частью пересечения, если она является одновременно частью каждого из множеств А и В (иными словами – если точка является невыколотой или внутренней точкой какого-либо интервала обоих числовых множеств A и B);

    - промежуток становится частью объединения, если он является частью хотя бы одного из множеств A или B (иными словами – если присутствует штриховка над этим промежутком хотя бы на одной из координатных прямых, отображающих множества A и B.

    - точка становится частью объединения, если она является частью хотя бы одного из множеств A и B (иными словами – точка является невыколотой или внутренней точкой какого-либо интервала хотя бы одного из множеств A и B).

    Кратко резюмируя: пересечением числовых множеств A и B служит пересечение всех числовых промежутков множеств A и B, над которыми одновременно присутствует штриховка, и всех отдельных точек, принадлежащих и множеству А, и множеству В. Объединением числовых множеств A и B служит объединение всех числовых промежутков, над которыми присутствует штриховка хотя бы у одного из множеств A или B, а также всех невыколотых отдельных точек.

    1. Вернемся к примеру, определим пересечение заданных множеств. Для этого поочередно проверим множества: (-, -3), {-3}, (-3, 7), {7}, (7, +). Начнем с множества (-, -3), наглядно выделив его на чертеже:

    Этот промежуток не будет включен в пересечение, потому что не является частью ни множества A, ни множества B (нет штриховки). И так наш чертеж сохраняет свой изначальный вид:

    Рассмотрим следующее множество {-3}. Число -3 является частью множества B (невыколотой точкой), но не входит в состав множества A, а потому не станет частью искомого пересечения. Соответственно на нижней координатной прямой точку с координатой -3 делаем выколотой:

    Оцениваем следующее множество (-3, 7).

    Оно является частью множества B (над интервалом присутствует штриховка), но не входит в множество A (над интервалом штриховка отсутствует): не будет входить в искомое пересечение, а значит на нижней координатной прямой не появляется никаких новых отметок:

    Следующее множество на проверку - {7}. Оно является составом множества B (точка с координатой 7 является внутренней точкой промежутка [-3, +) ), но не является частью множества A (выколотая точка), таким образом, рассматриваемый промежуток не станет частью искомого пересечения.. Отметим точку с координатой 7 как выколотую:

    И, наконец, проверяем оставшийся промежуток (7, +).

    Промежуток входит в оба множества A и B (над промежутком присутствует штриховка), следовательно, становится частью пересечения. Штрихуем место над рассмотренным промежутком:

    В конечном счете на нижней координатной прямой образовалось изображение искомого пересечения заданных множеств. Очевидно, что оно является множеством всех действительных чисел больше числа 7, т.е.: АВ = (7, +).

    1. Следующим шагом определим объединение заданных множеств A и B. Последовательно проверим множества (-, -3), {-3}, (-3, 7), {7}, (7, +), устанавливая факт включения или невключения их в искомое объединение.

    Первое множество (-, -3) не является частью ни одного из исходных множеств A и B (над промежутками нет штриховок), следовательно, множество (-, -3) не войдет в искомое объединение:

    Множество {-3} входит в множество B, а значит будет входить в искомое объединение множеств A и B:

    Множество (-3, 7) является составной частью множества B (над интервалом присутствует штриховка) и становится элементом объединения множеств A и B:

    Множество 7 входит в числовое множество B, поэтому войдет и в искомое объединение:

    Множество (7, +), являясь элементом обоих множеств А и В одновременно, становится еще одной частью искомого объединения:

    По итоговому изображению объединения исходных множеств А и В получаем: АВ = [-3, +).

    Имея некий практический опыт применения правил нахождения пересечений и объединений множеств, описанные проверки легко проводятся устно, что позволяет быстро записывать конечный результат. Продемонстрируем на практическом примере, как выглядит его решение без детальных пояснений.

    Пример 3

    Исходные данные: множества А =(-, -15){-5}[0, 7){12} и  В =(-20, -10){-5}(2, 3){17}. Необходимо определить пересечение и объединение заданных множеств.

    Решение

    Отметим заданные числовые множества на координатных прямых, чтобы иметь возможность получить иллюстрацию искомых пересечения и объединения:

                               

    Ответ: АВ = (-20,-15){-5}(2, 3); АВ = (-, -10){-5}[0, 7]{12, 17}.

    Также понятно, что при достаточном понимании процесса указанный алгоритм возможно подвергнуть оптимизации. К примеру, в процессе нахождения пересечения можно не тратить время на проверку всех промежутков и множеств, представляющих собой отдельные числа, ограничившись рассмотрением только тех промежутков и чисел, которые составляют множество А или В. Прочие промежутки в любом случае не войдут в пересечение, т.к. не являются частью исходных множеств. Составим иллюстрацию сказанного на практическом примере.

    Пример 4

    Исходные данные: множества А = {-2}[1, 5] и B = [-4, 3].

    Необходимо определить пересечение исходных множеств.

    Решение

    Геометрически изобразим числовые множества А и В:

    Граничные точки исходных множеств разобьют числовую прямую на несколько множеств:

    (-, -4), {-4}, (-4, -2), {-2}, (-2, -1), {1}, (1, 3), {3}, (3, 5), {5}, (5, +).

    Легко заметить, что числовое множество A можно записать, объединив некоторые из перечисленных множеств, а именно: {-2}, (1, 3), {3} и (3, 5). Достаточно будет проверить эти множества на их включенность также в множество В для того, чтобы найти искомое пересечение. Те, что войдут в множество В и станут элементами пересечения. Проведем проверку.

    Совершенно понятно, что {-2} является частью множества B , ведь точка с координатой -2 – внутренняя точка отрезка [-4, 3). Интервал (1, 3) и множество {3} также входят в множество В (над интервалом присутствует штриховка, а точка с координатой 3 является для множества В граничной и невыколотой). Множество (3, 5) не будет элементом пересечения, т.к. не входит в множество В (над ним не присутствует штриховка). Отметим все вышесказанное на чертеже:

    В итоге искомым пересечением двух заданных множеств будет объединение множеств, которое мы запишем так: {-2}(1, 3].

    Ответ: АВ = {-2}(1, 3].

    В заключении статьи обговорим еще, как решить задачу о нахождении пересечения и объединения нескольких множеств (более 2). Сведем ее, как рекомендовалось ранее, к необходимости определения пересечения и объединения первых двух множеств, затем полученного результата с третьим множеством и так далее. А можно использовать описанный выше алгоритм с единственным только отличием, что проверку вхождения промежутков и множеств, представляющих собой отдельные числа, необходимо проводить не по двум, а всем заданным множествам. Рассмотрим на примере.

    Пример 5

    Исходные данные: множества А = (-, 12], В = (-3,25], D = (-, 25){40}. Необходимо определить пересечение и объединение заданных множеств.

    Решение 

    Отображаем заданные числовые множества на координатных прямых и ставим с левой от них стороны фигурную скобку, обозначая пересечение, а также квадратную, обозначая объединение. Ниже отобразим координатные прямые с отмеченными штрихами граничными точками числовых множеств:

                                 

    Таким образом, координатная прямая представлена следующими множествами: (-, -3), {-3}, (-3, 12), {12}, (12, 25), {25}, (25, 40), {40}, (40, +).

    Начинаем искать пересечения, поочередно проверяя записанные множества на принадлежность каждому из исходных. Во все три заданных множества входит интервал (-3, 12) и множество {-12}: они и станут элементами искомого пересечения. Таким образом, получим: ABD = (-3, 12].

    Объединение заданных множеств составят множества: (-, -3) - элемент множества А; {-3} – элемент множества А; (-3, 12) – элемент множества А; {12} – элемент множества А; (12, 25) – элемент множества В; {25} – элемент множества В и {40} – элемент множества D. Таким образом, получим: ABD = (-, 25]  {40}.

     Ответ: ABD = (-3, 12]; ABD = (-, 25]  {40}.

    Отметим также, что искомое пересечение числовых множеств часто является пустым множеством. Происходит это в тех случаях, когда в заданные множества не включены элементы, одновременно принадлежащие им всем.

    Пример 6

    Исходные данные: А = [-7, 7]; В = {-15}[-12, 0){5}; D = [-15, -10][10, +); Е = (0, 27). Определить пересечение заданных множеств.

    Решение

    Отобразим исходные множества на координатных прямых и штрихами граничные точки этих множеств на дополнительной прямой.

    Отмеченные точки разобьют числовую прямую на множества: (-, -15), {-15}, (-15, -12), {-12}, (-12, -10), {-10}, (-10, -7), {-7}, (-7, 0), {0}, (0, 5), {5}, (5, 7), {7}, (7, 10), {10}, (10, 27), {27}, (27, +).

    Ни одно из них не является одновременно элементом всех исходных множеств, следовательно, пересечение заданных множеств есть пустое множество.

    Ответ: ABDЕ = Ø.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,9 из 5 (7 голосов)