Сокращение дробей: правила и примеры
Мы помогаем студентам с дипломными, курсовыми, контрольными Узнать стоимость

Сокращение дробей: правила и примеры

    Разберемся в том, что такое сокращение дробей, зачем и как сокращать дроби, приведем правило сокращения дробей и примеры его использования.

    Что такое "сокращение дробей"

    Сократить дробь

    Сократить дробь - значит разделить ее числитель и знаменатель на общий делитель, положительный и отличный от единицы.

    В результате такого действия получится дробь с новым числителем и знаменателем, равная исходной дроби. 

    К примеру, возьмем обыкновенную дробь 624 и сократим ее. Разделим числитель и знаменатель на 2, в результате чего получим 624=6÷224÷2=312. В этом примере мы сократили исходную дробь на 2.

    Приведение дробей к несократимому виду

    В предыдущем примере мы сократили дробь 624 на 2, в результате чего получили дробь 312. Нетрудно заметить, что эту дробь можно сократить еще. Как правило, целью сокращения дробей является получение в итоге несократимой дроби. Как привести дробь к несократимому виду? 

    Это можно сделать, если сократить числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель (НОД). Тогда, по свойству наибольшего общего делителя, в числителе и в знаменателе будут взаимно простые числа, и дробь окажется несократимой.

    ab=a÷НОД(a, b)b÷НОД(a, b)

    Приведение дроби к несократимому виду

    Чтобы привести дробь к несократимому виду нужно ее числитель и знаменатель разделить на их НОД.

    Вернемся к дроби 624 из первого примера и приведем ее к несократимому виду. Наибольший общий делитель чисел 6 и 24 равен 6. Сократим дробь:

    624=6÷624÷6=14

    Сокращение дробей удобно применять, чтобы не работать с большими цифрами. Вообще, в математике существует негласное правило: если можно упростить какое-либо выражение, то нужно это делать. Под сокращением дроби чаще всего подразумевают ее приведение к несократимому виду, а не просто сокращение на общий делитель числителя и знаменателя.

    Правило сокращения дробей

    Чтобы сокращать дроби достаточно запомнить правило, которое состоит из двух шагов.

    Правило сокращения дробей

    Чтобы сократить дробь нужно:

    1. Найти НОД числителя и знаменателя.
    2. Разделить числитель и знаменатель на их НОД.

    Рассмотрим практические примеры.

    Пример 1. Сократим дробь. 

    Дана дробь 182195. Сократим ее.

    Найдем НОД числителя и знаменателя. Для этого в данном случае удобнее всего воспользоваться алгоритмом Евклида. 

    195=182·1+13182=13·14НОД(182, 195)=13

    Разделим числитель и знаменатель на 13. Получим:

    182195=182÷13195÷13=1415

    Готово. Мы получили несократимую дробь, которая равна исходной дроби.

    Как еще можно сокращать дроби? В некоторых случаях удобно разложить числитель и знаменатель на простые множители, а потом из верхней и нижней частей дроби убрать все общие множители.

    Пример 2. Сократим дробь

    Дана дробь 3602940. Сократим ее.

    Для этого представим исходную дробь в виде:

    3602940=2·2·2·3·3·52·2·3·5·7·7

    Избавимся от общих множителей в числителе и знаменателе, в результате чего получим:

    3602940=2·2·2·3·3·52·2·3·5·7·7=2·37·7=649

    Наконец, рассмотрим еще один способ сокращения дробей. Это так называемое последовательное сокращение. С использованием этого способа сокращение производится в несколько этапов, на каждом из которых дробь сокращается на какой-то очевидный общий делитель.

    Пример 3. Сократим дробь

    Сократим дробь 20004400.

    Сразу видно, что числитель и знаменатель имеют общий множитель 100. Сокращаем дробь на 100 и получаем:

    20004400=2000÷1004400÷100=2044

    Далее замечаем, что числитель и знаменатель дроби 2044 делятся на 2. Сокращаем и приходим к виду:

    2044=20÷244÷2=1022

    Получившийся результат снова сокращаем на 2 и получаем уже несократимую дробь:

    1022=10÷222÷2=511

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    5,0 из 5 (19 голосов)