Определитель матрицы: алгоритм, примеры вычисления, правила
Мы помогаем студентам с дипломными, курсовыми, контрольными Узнать стоимость

Определитель матрицы: алгоритм и примеры вычисления определителя матрицы

    Определение 1

    Определитель (детерминант) матрицы — некоторое число, с которым можно сопоставить любую квадратную матрицу А=(aij)n×n

    |А|, , det A - символы, которыми обозначают определитель матрицы.

    Способ вычисления определителя выбирают в зависимости от порядка матрицы.

    Пример 1​​​​​

    Определитель матрицы 2-го порядка вычисляют по формуле:

    А=1-231.

    Решение:

    det A=1-231=1×1-3×(-2)=1+6=7

    Определитель матрицы 3-го порядка: правило треугольника 

    Чтобы найти определитель матрицы 3-го порядка, необходимо одно из правил:

    • правило треугольника;
    • правило Саррюса.

    Как найти определитель матрицы 3-го порядка по методу треугольника?

    а11а12а13а21а22а23а31а32а33=a11×a22×a33+a31×a12×a23+a21×a32×a13-a31×a22×a13-a21×a12×a33-a11×a23×a32

    Пример 2

    А=13402115-1

    Решение:

    det A=13402115-1=1×2×(-2)+1×3×1+4×0×5-1×2×4-0×3×(-1)-5×1×1=(-2)+3+0-8-0-5=-12

    Правило Саррюса

    Чтобы вычислить определитель по методу Саррюса, необходимо учесть некоторые условия и выполнить следующие действия:

    • дописать слева от определителя два первых столбца;
    • перемножить элементы, которые расположены на главной диагонали и параллельных ей диагоналях, взяв произведения со знаком «+»;
    • перемножить элементы, которые расположены на побочных диагоналях и параллельных им, взяв произведения со знаком «—».

    а11а12а13а21а22а23а31а32а33=a11×a22×a33+a31×a12×a23+a21×a32×a13-a31×a22×a13-a21×a12×a33-a11×a23×a32

    Пример 3

    А=134021-25-11302-25=1×2×(-1)+3×1×(-2)+4×0×5-4×2×(-2)-1×1×5-3×0×(-1)=-2-6+0+16-5-0=3

    Методы разложения по элементам строки и столбца

    Чтобы вычислить определитель матрицу 4-го порядка, можно воспользоваться одним из 2-х способов:

    • разложением по элементам строки;
    • разложением по элементам столбца.

    Представленные способы определяют вычисление определителя n как вычисление определителя порядка n-1 за счет представления определителя суммой произведений элементов строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

    Пример 4

    Разложение матрицы по элементам строки:

    det A=ai1×Ai1+ai2×Ai2+...+аin×Аin

    Разложение матрицы по элементам столбца:

    det A=а1i×А1i+а2i×А2i+...+аni×Аni

    Замечание

    Если раскладывать матрицу по элементам строки (столбца), необходимо выбирать строку (столбец), в которой(-ом) есть нули.

    Пример 5

    А=01-132100-24513210

    Решение:

    • раскладываем по 2-ой строке:

    А=01-132100-24513210=2×(-1)3×1-13-251310=-2×1-13451210+1×0-13-251310

    • раскладываем по 4-му столбцу:

    А=01-132100-24513210=3×(-1)5×210-245321+1×(-1)7×01-1210321=-3×210-245321-1×01-1210321

    Свойства определителя

    Свойства определителя:

    • если преобразовывать столбцы или строки незначительными действиями, то это не влияет на значение определителя;
    • если поменять местами строки и столбцы, то знак поменяется на противоположный;
    • определитель треугольной матрицы представляет собой произведение элементов, которые расположены на главной диагонали.
    Пример 6

    А=134021005

    Решение:

    det А=134021005=1×5×2=10

    Замечание

    Определитель матрицы, который содержит нулевой столбец, равняется нулю.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,7 из 5 (7 голосов)