Значение числового, буквенного выражения и выражения с переменными

В процессе разбора тем о числовых, буквенных выражениях и выражениях с переменными следует обратить внимание на понятие значение выражения. Ниже дадим определение этому термину, рассмотрим примеры.

Что такое значение числового выражения

Мы знакомимся с числовыми выражениями с самого начала школьного обучения. Да и почти сразу начинает использоваться понятие «значение числового выражения». Так обозначают выражения, составляющие которого – числа, соединяемые знаками арифметических действий: плюс, минус, умножить, разделить.

Например, простейшее числовое выражение $2+3$. Оно задает необходимость выполнить сложение натуральных чисел, в результате чего получается число $5$, которое и будет служить значением числового выражения $2+3$.

Зачастую в словосочетании «значение числового выражения» слово «числовое» не употребляют, поскольку в любом случае понятно, значение какого выражения рассматривается.

Определение, которое мы дали выше, верно для числовых выражений и более сложной структуры, изучаемых в старших классах. Также нужно сказать о том, что возможно встретить такие числовые выражения, значение которых указать нет возможности: в некоторых выражениях задаются действия, которые нельзя выполнить. К примеру, деление на нуль не определено, а значит указать значение выражения, к примеру, $5:(9-9)$ невозможно. Такие числовые выражения называют выражениями, не имеющими смысла.

В основном интерес вызывает не само числовое выражение, а его значение. Практически всегда существует задача по нахождению значения заданного выражения, которая так и обозначается: «найти значение выражения». В соответствующей статье можно детально изучить сам процесс нахождения значения числовых выражения разного рода с примерами.

Значение буквенного выражения и выражения с переменными

Кроме числовых, интерес представляют и буквенные выражения – те выражения, составляющими которого являются, в том числе, одна или несколько букв. Буквы в буквенном выражении обозначают разные числа, и при замене букв на числа получается числовое выражение.

Таким образом, речь идет не о значении буквенного выражения, как такового, а о его значении, когда заданы (определены) конкретные значения букв.

Например, рассмотрим буквенное выражение $3·x + y$. Допустим также, что заданы некоторые значения используемых букв: $x=2, y=1$. Заменим буквы на заданные их значения, получим числовое выражение $3·2 + 1$. Значение этого числового выражения равно $7$. Т.е. $7$ – это значение исходного буквенного выражения при определенных значениях букв. Могли быть заданы и другие значения букв, тогда было бы получено иное числовое выражение и, в конечном счете, иное значение буквенного выражения.

В программе алгебры буквы в буквенном выражении могут принимать разнообразные значения, тогда буквы называют переменными, а буквенные выражения – выражениями с переменными. Логично следует введение понятия значения выражений при выбранных значениях переменных.

Приведем пример. Пусть задано выражение $4·a·b + b$.  Зададим переменные: $a=3, b=7$ и подставим их в исходное выражение: $4·3·7+7$. Произведем вычисление: $4·3·7+7= 84+7=91$.

Определенное значение в виде числа $91$ – это значение исходного выражения с переменными$4·a·b+b$ при выбранных значениях переменных $a=3, b=7$.

Возможен вариант, когда выбранные переменные –различны, а значение исходного выражения при этих переменных одинаково.

Значения переменных возможно задать из областей допустимых значений, которые им соответствуют, поскольку в ином случае, подставив значения, не принадлежащие области допустимых значений, можно получить числовое выражение, не имеющее смысла.

Добавим напоследок, что имеют также место выражения с переменными, значения которых не имеют зависимости от входящих в них переменных. К примеру, значение выражения $\mathrm{}$ 5+х–х$$ не зависит от значения переменной $x$, оно в любом случае будет равно $5$ (при любом выбранном значении переменной из области ее допустимых значений).