Умножение и деление алгебраических дробей

Умножение и деление алгебраических дробей

    В этой статье мы продолжаем изучение основных действий, которые можно выполнять с алгебраическими дробями. Здесь мы рассмотрим умножение и деление: сначала выведем нужные правила, а затем проиллюстрируем их решениями задач.

    Как правильно делить и умножать алгебраические дроби

    Чтобы выполнить умножение алгебраических дробей или разделить одну дробь на другую, нам нужно использовать те же правила, что и для обыкновенных дробей. Вспомним их формулировки.

    Когда нам надо умножить одну обыкновенную дробь на другую, мы выполняем отдельно умножение числителей и отдельно знаменателей, после  чего записываем итоговую дробь, расставив по местам соответствующие произведения. Пример такого вычисления:

    23·47=2·43·7=821

    А когда нам надо разделить обыкновенные дроби, мы делаем это с помощью умножения на дробь, обратную делителю, например:

    23:711=23·117=227=1121

    Умножение и деление алгебраических дробей выполняется в соответствии с теми же принципами. Сформулируем правило:

    Определение 1

    Чтобы перемножить две и более алгебраические дроби, нужно перемножить отдельно числители и знаменатели. Результатом будет дробь, в числителе которой будет стоять произведение числителей, а в знаменателе – произведение знаменателей.  

    В буквенном виде правило можно записать как ab·cd=a·cb·d . Здесь a, b, c и d будут представлять из себя определенные многочлены, причем b и d не могут быть нулевыми.

    Определение 2

    Для того чтобы разделить одну алгебраическую дробь на другую, нужно выполнить умножение первой дроби на дробь, обратную второй.

    Это правило можно также записать как ab:cd=ab·dc=a·db·c . Буквы a, b, c и d здесь означают многочлены, из которых a, b, c и d не могут быть нулевыми.

    Отдельно остановимся на том, что такое обратная алгебраическая дробь. Она представляет из себя такую дробь, которая при умножении на исходную дает в итоге единицу. То есть такие дроби будут аналогичны взаимно обратным числам. Иначе можно сказать, что обратная алгебраическая дробь состоит из таких же значений, что и исходная, однако числитель и знаменатель у нее меняются местами. Так, по отношению к дроби a·b+1a3  дробь a3a·b+1  будет обратной.

    Решение задач на умножение и деление алгебраических дробей

    В этом пункте мы посмотрим, как правильно применять озвученные выше правила на практике. Начнем с простого и наглядного примера.

    Пример 1

    Условие: умножьте дробь 1x+y  на 3·x·yx2+5 , а потом разделите одну дробь на другую.

    Решение

    Сначала выполним умножение. Согласно правилу, нужно отдельно перемножить числители и знаменатели:

    1x+y·3·x·yx2+5=1·3·x·y(x+y)·(x2+5)

    Мы получили новый многочлен, который нужно привести к стандартному виду. Заканчиваем вычисления:

    1·3·x·y(x+y)·(x2+5)=3·x·yx3+5·x+x2·y+5·y

    Теперь посмотрим, как правильно разделить одну дробь на другую. По правилу нам надо заменить это действие умножением на обратную дробь x2+53·x·y :

    1x+y:3·x·yx2+5=1x+y·x2+53·x·y

    Приведем полученную дробь к стандартному виду:

    1x+y·x2+53·x·y=1·x2+5(x+y)·3·x·y=x2+53·x2·y+3·x·y2

    Ответ: 1x+y·3·x·yx2+5=3·x·yx3+5·x+x2·y+5·y ; 1x+y:3·x·yx2+5=x2+53·x2·y+3·x·y2 .

    Довольно часто в процессе деления и умножения обыкновенных дробей получаются результаты, которые можно сократить, например, 29·38=672=112 . Когда мы выполняем эти действия с алгебраическими дробями, мы также можем получить сократимые результаты. Для этого полезно предварительно разложить числитель и знаменатель исходного многочлена на отдельные множители. Если нужно, перечитайте статью о том, как правильно это делать. Разберем пример задачи, в которой нужно будет выполнить сокращение дробей.

    Пример 2

    Условие: перемножьте дроби x2+2·x+118·x3 и 6·xx2-1 .

    Решение

    Перед тем, как вычислять произведение, разложим на отдельные множители числитель первой исходной дроби и знаменатель второй. Для этого нам потребуются формулы сокращенного умножения. Вычисляем:

    x2+2·x+118·x3·6·xx2-1=x+1218·x3·6·x(x-1)·(x+1)=x+12·6·x18·x3·x-1·x+1

    У нас получилась дробь, которую можно сократить:

    x+12·6·x18·x3·x-1·x+1=x+13·x2·(x-1)

    О том, как это делается, мы писали в статье, посвященной сокращению алгебраических дробей.

    Перемножив одночлен и многочлен в знаменателе, мы получим нужный нам результат:

    x+13·x2·(x-1)=x+13·x3-3·x2

    Вот запись всего решения без пояснений:

    x2+2·x+118·x3·6·xx2-1=x+1218·x3·6·x(x-1)·(x+1)=x+12·6·x18·x3·x-1·x+1==x+13·x2·(x-1)=x+13·x3-3·x2

    Ответ: x2+2·x+118·x3·6·xx2-1=x+13·x3-3·x2 .

    В некоторых случаях исходные дроби перед умножением или делением удобно преобразовать, чтобы дальнейшие вычисления стали быстрее и проще.

    Пример 3

    Условие: разделите 217·x-1  на 12·x7-x .

    Решение: начнем с упрощения алгебраической дроби 217·x-1 , чтобы избавиться от дробного коэффициента. Для этого умножим обе части дроби на семь (это действие возможно благодаря основному свойству алгебраической дроби). В итоге у нас получится следующее:

    217·x-1=7·27·17·x-1=14x-7

    Видим, что знаменатель дроби 12·x7-x , на которую нам нужно разделить первую дробь, и знаменатель получившейся дроби являются противоположными друг другу выражениями. Изменив знаки числителя и знаменателя 12·x7-x , получим 12·x7-x=-12·xx-7 .

    После всех преобразований можем наконец перейти непосредственно к делению алгебраических дробей:

    217·x-1:12·x7-x=14x-7:-12·xx-7=14x-7·x-7-12·x=14·x-7x-7·-12·x==14-12·x=2·7-2·2·3·x=7-6·x=-76·x

    Ответ: 217·x-1:12·x7-x=-76·x .

    Как умножить или разделить алгебраическую дробь на многочлен

    Чтобы выполнить такое действие, мы можем воспользоваться теми же правилами, что мы приводили выше. Предварительно нужно представить многочлен в виде алгебраической дроби с единицей в знаменателе. Это действие аналогично преобразованию натурального числа в обыкновенную дробь. Например, можно заменить многочлен x2+x4  на x2+x41 . Полученные выражения будут тождественно равны.

    Пример 4

    Условие: разделите алгебраическую дробь на многочлен x+45·x·y:x2-16 .

    Решение

    Начнем с замены многочлена дробью, далее действуем согласно основному правилу.

    x+45·x·y:x2-16=x+45·x·y:x2-161=x+45·x·y·1x2-16==x+45·x·y·1(x-4)·x+4=(x+4)·15·x·y·(x-4)·(x+4)=15·x·y·x-4==15·x2·y-20·x·y

    Ответ: x+45·x·y:x2-16=15·x2·y-20·x·y.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    5,0 из 5 (6 голосов)