Сокращение алгебраических дробей: правило, примеры.

Сокращение алгебраических дробей: правило, примеры.

    Данная статья продолжает тему преобразования алгебраических дробей: рассмотрим такое действие как сокращение алгебраических дробей. Дадим определение самому термину, сформулируем правило сокращения и разберем практические примеры.

    Смысл сокращения алгебраической дроби

    В материалах об обыкновенной дроби мы рассматривали ее сокращение. Мы определили сокращение обыкновенной дроби как деление ее числителя и знаменателя на общий множитель.

    Сокращение алгебраической дроби представляет собой аналогичное действие.

    Определение 1

    Сокращение алгебраической дроби – это деление ее числителя и знаменателя на общий множитель. При этом, в отличие от сокращения обыкновенной дроби (общим знаменателем может быть только число), общим множителем числителя и знаменателя алгебраической дроби может служить многочлен, в частности, одночлен или число.

    К примеру, алгебраическая дробь 3·x2+6·x·y6·x3·y+12·x2·y2  может быть сокращена на число 3, в итоге получим: x2+2·x·y6·x3·y+12·x2·y2 . Эту же дробь мы можем сократить на переменную х, и это даст нам выражение 3·x+6·y6·x2·y+12·x·y2. Также заданную дробь возможно сократить на одночлен 3·x или любой из многочленов x+2·y, 3·x+6·yx2+2·x·y или 3·x2+6·x·y.

    Конечной целью сокращения алгебраической дроби является дробь более простого вида, в лучшем случае – несократимая дробь.

    Все ли алгебраические дроби подлежат сокращению?

    Опять же из материалов об обыкновенных дробях мы знаем, что существуют сократимые и несократимые дроби. Несократимые – это дроби, не имеющие общих множителей числителя и знаменателя, отличных от 1.

    С алгебраическими дробями все так же: они могут иметь общие множители числителя и знаменателя, могут и не иметь. Наличие общих множителей позволяет упростить исходную дробь посредством сокращения. Когда общих множителей нет, оптимизировать заданную дробь способом сокращения невозможно.

    В общих случаях по заданному виду дроби довольно сложно понять, подлежит ли она сокращению. Конечно, в некоторых случаях наличие общего множителя числителя и знаменателя очевидно. Например, в алгебраической дроби 3·x23·y совершенно понятно, что общим множителем является число 3.

    В дроби -x·y5·x·y·z3 также мы сразу понимаем, что сократить ее возможно на х, или y, или на х·y. И все же гораздо чаще встречаются примеры алгебраических дробей, когда общий множитель числителя и знаменателя не так просто увидеть, а еще чаще – он попросту отсутствует.

    Например, дробь x3-1x2-1  мы можем сократить на х-1, при этом указанный общий множитель в записи отсутствует. А вот дробь x3-x2+x-1x3+x2+4·x+4  подвергнуть действию сокращения невозможно, поскольку числитель и знаменатель не имеют общего множителя.

    Таким образом, вопрос выяснения сократимости алгебраической дроби не так прост, и зачастую проще работать с дробью заданного вида, чем пытаться выяснить, сократима ли она. При этом имеют место такие преобразования, которые в частных случаях позволяют определить общий множитель числителя и знаменателя или сделать вывод о несократимости дроби. Разберем детально этот вопрос в следующем пункте статьи.

    Правило сокращения алгебраических дробей

    Правило сокращения алгебраических дробей состоит из двух последовательных действий:

    • нахождение общих множителей числителя и знаменателя;
    • в случае нахождения таковых осуществление непосредственно действия сокращения дроби.

    Самым удобным методом отыскания общих знаменателей является разложение на множители многочленов, имеющихся в числителе и знаменателе заданной алгебраической дроби. Это позволяет сразу наглядно увидеть наличие или отсутствие общих множителей.

    Само действие сокращения алгебраической дроби базируется на основном свойстве алгебраической дроби, выражаемой равенством a·cb·c=ab , где a,b,c – некие многочлены, причем b и c – ненулевые. Первым шагом дробь приводится к виду a·cb·c , в котором мы сразу замечаем общий множитель c. Вторым шагом – выполняем сокращение, т.е. переход к дроби вида ab .

    Характерные примеры

    Несмотря на некоторую очевидность, уточним про частный случай, когда числитель и знаменатель алгебраической дроби равны. Подобные дроби тождественно равны 1 на всей ОДЗ переменных этой дроби:

    55=1;-23-23=1;xx=1;-3,2·x3-3,2·x3=1;12·x-x2·y12·x-x2·y;  

    и т.п.

    Поскольку обыкновенные дроби являются частным случаем алгебраических дробей, напомним, как осуществляется их сокращение. Натуральные числа, записанные в числителе и знаменателе, раскладываются на простые множители, затем общие множители сокращаются (если таковые имеются).

    К примеру, 241260=2·2·2·32·2·3·3·5·7=23·5·7=2105

    Произведение простых одинаковых множителей возможно записать как степени, и в процессе сокращения дроби использовать свойство деления степеней с одинаковыми основаниями. Тогда вышеуказанное решение было бы таким:

    241260=23·322·32·5·7=23-232-1·5·7=2105  

    (числитель и знаменатель разделены на общий множитель 22·3). Или для наглядности, опираясь на свойства умножения и деления, решению дадим такой вид:

    241260=23·322·32·5·7=2322·332·15·7=21·13·135=2105

    По аналогии осуществляется сокращение алгебраических дробей, у которых в числителе и знаменателе имеются одночлены с целыми коэффициентами.

    Пример 1

    Задана алгебраическая дробь -27·a5·b2·c·z6·a2·b2·c7·z . Необходимо произвести ее сокращение.

    Решение

    Возможно записать числитель и знаменатель заданной дроби как произведение простых множителей и переменных, после чего осуществить сокращение:

    -27·a5·b2·c·z6·a2·b2·c7·z=-3·3·3·a·a·a·a·a·b·b·c·z2·3·a·a·b·b·c·c·c·c·c·c·c·z==-3·3·a·a·a2·c·c·c·c·c·c=-9·a32·c6

    Однако, более рациональным способом будет запись решения в виде выражения со степенями:

    -27·a5·b2·c·z6·a2·b2·c7·z=-33·a5·b2·c·z2·3·a2·b2·c7·z=-332·3·a5a2·b2b2·cc7·zz==-33-12·a5-21·1·1c7-1·1=·-32·a32·c6=·-9·a32·c6 .

    Ответ: -27·a5·b2·c·z6·a2·b2·c7·z=-9·a32·c6

    Когда в числителе и знаменателе алгебраической дроби имеются дробные числовые коэффициенты, возможно два пути дальнейших действий: или отдельно осуществить деление этих дробных коэффициентов, или предварительно избавиться от дробных коэффициентов, умножив числитель и знаменатель на некое натуральное число. Последнее преобразование проводится в силу основного свойства алгебраической дроби (про него можно почитать в статье «Приведение алгебраической дроби к новому знаменателю»).

    Пример 2

    Задана дробь 25·x0,3·x3. Необходимо выполнить ее сокращение.

    Решение

    Возможно сократить дробь таким образом:

    25·x0,3·x3=25310·xx3=43·1x2=43·x2

    Попробуем решить задачу иначе, предварительно избавившись от дробных коэффициентов – умножим числитель и знаменатель на наименьшее общее кратное знаменателей этих коэффициентов, т.е. на НОК (5, 10) = 10. Тогда получим:

    25·x0,3·x3=10·25·x10·0,3·x3=4·x3·x3=43·x2 .

    Ответ: 25·x0,3·x3=43·x2

    Когда мы сокращаем алгебраические дроби общего вида, в которых числители и знаменатели могут быть как одночленами, так и многочленами, возможна проблема, когда общий множитель не всегда сразу виден. Или более того, он попросту не существует. Тогда для определения общего множителя или фиксации факта о его отсутствии числитель и знаменатель алгебраической дроби раскладывают на множители.

    Пример 3

    Задана рациональная дробь 2·a2·b2+28·a·b2+98·b2a2·b3-49·b3 . Необходимо ее сократить.

    Решение

    Разложим на множители многочлены в числителе и знаменателе. Осуществим вынесение за скобки:

    2·a2·b2+28·a·b2+98·b2a2·b3-49·b3=2·b2·(a2+14·a+49)b3·(a2-49)

    Мы видим, что выражение в скобках возможно преобразовать с использованием формул сокращенного умножения:

    2·b2·(a2+14·a+49)b3·(a2-49)=2·b2·(a+7)2b3·(a-7)·(a+7)

    Хорошо заметно, что возможно сократить дробь на общий множитель b2·(a+7). Произведем сокращение:

    2·b2·(a+7)2b3·(a-7)·(a+7)=2·(a+7)b·(a-7)=2·a+14a·b-7·b

    Краткое решение без пояснений запишем как цепочку равенств:

    2·a2·b2+28·a·b2+98·b2a2·b3-49·b3=2·b2·(a2+14a+49)b3·(a2-49)==2·b2·(a+7)2b3·(a-7)·(a+7)=2·(a+7)b·(a-7)=2·a+14a·b-7·b

    Ответ: 2·a2·b2+28·a·b2+98·b2a2·b3-49·b3=2·a+14a·b-7·b.

    Случается, что общие множители скрыты числовыми коэффициентами. Тогда при сокращении дробей оптимально числовые множители при старших степенях числителя и знаменателя вынести за скобки.

    Пример 4

    Дана алгебраическая дробь 15·x-27·x3·y5·x2·y-312 . Необходимо осуществить ее сокращение, если это возможно.

    Решение

    На первый взгляд у числителя и знаменателя не существует общего знаменателя. Однако, попробуем преобразовать заданную дробь. Вынесем за скобки множитель х в числителе:

    15·x-27·x3·y5·x2·y-312=x·15-27·x2·y5·x2·y-312

    Теперь видна некая схожесть выражения в скобках и выражения в знаменателе за счет x2·y. Вынесем за скобку числовые коэффициенты при старших степенях этих многочленов:

    x·15-27·x2·y5·x2·y-312=x·-27·-72·15+x2·y5·x2·y-15·312==-27·x·-710+x2·y5·x2·y-710

    Теперь становится виден общий множитель, осуществляем сокращение:

    -27·x·-710+x2·y5·x2·y-710=-27·x5=-235·x

    Ответ: 15·x-27·x3·y5·x2·y-312=-235·x .

    Сделаем акцент на том, что навык сокращения рациональных дробей зависит от умения раскладывать многочлены на множители.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,7 из 5 (16 голосов)