Сложение и вычитание многочленов: правило и примеры

Сложение и вычитание многочленов: правило и примеры

    Данная статья разбирает такие действия с многочленами как сложение и вычитание многочленов. Сформулируем правило и рассмотрим его применение в решении задач.

    Правило сложения и вычитания многочленов

    Формулировку правила мы зададим сразу, после чего запишем пояснения.

    Определение 1

    Для осуществления действия сложения или вычитания многочленов, необходимо:

    • записать сумму или разность многочленов в зависимости от поставленной задачи;
    • в записанном выражении произвести раскрытие скобок, результатом чего станет многочлен;
    • привести полученный во втором шаге многочлен в стандартный вид.

    Теперь дадим пояснения по каждому шагу озвученного алгоритма.

    Чтобы записать сумму или разность многочленов, необходимо заданные многочлены заключить в скобки и между ними расположить знак плюс или минус соответственно. К примеру, сумма двух многочленов x3+9·x·y-2 и 74·x·y запишется как (x3+9·x·y-2)+(74·x·y), а их разность имеет вид (x3+9·x·y-2)(74·x·y).

    Далее, согласно правилу, необходимо раскрыть скобки в полученном выражении: данное действие совершаем, опираясь на правило раскрытия скобок, перед которыми расположен знак плюси правило раскрытия скобок, перед которыми расположен знак минус. В приведенных выше примерах сумма многочленов (x3+9·x·y-2)+(74·x·y)  после раскрытия скобок получит вид x3+9·x·y-2+74·x·y, а разность (x3+9·x·y-2)(74·x·y) станет выглядеть так: x3+9·x·y-27+4·x·y. Мы явно видим, что в итоге получены многочлены.

    Последним шагом алгоритма приведем многочлен к стандартному виду. Продолжая рассматриваемые примеры, получим: x3+9·x·y-2+74·x·y = x3+5·x·y+5 и x3+9·x·y-27+4·x·y = x3+13·x·y-9.

    Мы рассмотрели все действия согласно сформулированному правилу и можем указать важный вывод, что итогом сложения или вычитания является многочлен.

    Примеры сложения и вычитания

    Разберем типичные задачи на сложение и вычитание многочленов.

    Пример 1

    Заданы многочлены x2+5·x+2 и x25·x+3. Необходимо найти их сумму и разность.

    Решение

    Первым действием найдем сумму исходных многочленов. Запишем ее: (x2+5·x+2)+(x25·x+3). Раскроем скобки и получим: x2+5·x+2+x25·x+3. Чтобы привести полученный многочлен к стандартному виду, совершим действие приведения подобных членов: 2·x2+5.

    Кратко решение оформляется так:

    (x2+5·x+2)+(x25·x+3)=x2+5·x+2+x25·x+3==(x2+x2)+(5·x5·x)+(2+3)=2·x2+5

    Произведем вычитание многочленов:

    (x2+5·x+2)(x25·x+3)=x2+5·x+2x2+5·x3==(x2x2)+(5·x+5·x)+(23)=10·x1

    Ответ: (x2+5·x+2)+(x25·x+3)=2·x2+5 и (x2+5·x+2)(x25·x+3)=10·x1.

    Одночлен – частный случай многочлена, поэтому правило сложения и вычитания, рассматриваемое в данной статье, применимо и для сложения и вычитания одночленов; для сложения и вычитания одночлена и многочлена и, наконец, для вычитания одночлена из многочлена и наоборот.

    Пример 2

    Необходимо вычесть из одночлена 17·a·b2 многочлен b4+b3+11·a·b22.

    Решение

    Сделаем запись разности (17·a·b2)(b4+b3+11·a·b22). Раскроем скобки и получим многочлен вида: 17·a·b2b4b311·a·b2+2. Далее приводим многочлен к стандартному виду путем приведения подобных членов: 6·a·b2b4b3+2, что и будет являться разностью исходных данных.

    Ответ: (15·a·b2)(b4+b3+11·a·b27)=6·a·b2b4b3+2.

    Исходные многочлены могут быть представлены как в стандартном, так и в нестандартном виде: действия сложения и вычитания могут совершаться и в том, и в том состоянии данных, на результат вычисления это никоим образом не повлияет. Единственное, чем могут отличаться результаты, полученные от сложения или вычитания многочленов нестандартного вида и многочленов в стандартном виде – это порядок следования членов многочлена-результата сложения или вычитания.

    Пример 3

    Заданы многочлены 5+3·a·2+4 и a22·a+2·a2+6. Необходимо найти их сумму.

    Решение

    Решим задачу двумя способами.

    1. Осуществим сложение многочленов в исходном виде: (5+3·a·2+4)+(a22·a+2·a2+6)==5+3·a·2+4+a22·a+2·a2+6=5+6·a+4+a22·a+2·a2+6==(5+4+6)+(6·a2·a)+(a2+2·a2)=15+4·a+3·a2
    2. Первоначально запишем исходные многочлены в стандартном виде: 5+3·a·2+4=1+6·a+4=(5+4)+6·a=9+6·a и a22·a+2·a2+6=(a2+2·a2)2·a+6=3·a22·a+6

    Теперь произведём сложение:

    (9+6·a)+(3·a22·a+6)=9+6·a+3·a22·a+6==(9+6)+(6·a2·a)+3·a2=15+4·a+3·a2

    Явно видно, что оба способа дали один и тот же итог.

    Ответ: (5+3·a·2+4)+(a22·a+2·a2+6)=15+4·a+3·a2.

    По такой же схеме, как во всех указанных примерах, производится сложение или вычитание трех и более многочленов.

    Пример 4

    Заданы многочлены: 5·a·ba·b2, 3·a·b2 и 2·a·b2a·b+b. Необходимо выполнить их сложение.

    Решение

    Осуществляем действия сложения согласно сформулированному выше правилу. Составляем сумму, затем раскрываем скобки и преобразуем полученный многочлен в стандартный вид:

    (5·a·ba·b2)+(3·a·b2)+(2·a·b2a·b+b)==5·a·ba·b2+3·a·b2+2·a·b2a·b+b=4·a·b+4·a·b2+b

    Ответ: (5·a·ba·b2)+(3·a·b2)+(2·a·b2a·b+b)=4·a·b+4·a·b2+b.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    5,0 из 5 (12 голосов)