Сложение и вычитание алгебраических дробей: правила, примеры

Сложение и вычитание алгебраических дробей: правила, примеры

    Данная статья начинает изучение действий с алгебраическими дробями: рассмотрим подробно такие действия как сложение и вычитание алгебраических дробей. Разберем схему сложения и вычитания алгебраических дробей как с одинаковыми знаменателями, так и с разными. Изучим, как сложить алгебраическую дробь с многочленом и как произвести их вычитание. На конкретных примерах поясним каждый шаг поиска решения задач.

    Действия сложения и вычитания при одинаковых знаменателях

    Схема сложения обыкновенных дробей применима и для алгебраических. Мы знаем, что при сложении или вычитании обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями необходимо сложить или вычесть их числители, а знаменатель остается исходным.

    К примеру: 37+27=3+27=57 и 511-411=5-411=111.

    Соответственно аналогичным образом записывается правило сложения и вычитания алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями:

    Определение 1

    Чтобы осуществить сложение или вычитание алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями, нужно соответственно сложить или вычесть числители исходных дробей, а знаменатель записать без изменений.

    Данное правило дает возможность сделать вывод, что результат сложения или вычитания алгебраических дробей - новая алгебраическая дробь (в частном случае: многочлен, одночлен или число).

    Укажем пример применения сформулированного правила.

    Пример 1

    Заданы алгебраические дроби: x2+2·x·y-5x2·y-2 и 3-x·yx2·y-2. Необходимо осуществить их сложение.

    Решение

    Исходные дроби содержат одинаковые знаменатели. Согласно правилу, выполним сложение числителей заданных дробей, а знаменатель оставим неизменным.

    Сложив многочлены, являющиеся числителями исходных дробей, получим: x2+2·x·y5+3x·y=x2+(2·x·yx·y)5+3=x2+x·y2

    Тогда искомая сумма будет записана как: x2+x·y-2x2·y-2.

    В практике, как во многих случаях, решение приводится цепочкой равенств, наглядно показывающей все этапы решения:

    x2+2·x·y-5x2·y-2+3-x·yx2·y-2=x2+2·x·y-5+3-x·yx2·y-2=x2+x·y-2x2·y-2

    Ответ: x2+2·x·y-5x2·y-2+3-x·yx2·y-2=x2+x·y-2x2·y-2.

    Результатом сложения или вычитания может стать сократимая дробь, в этом случае оптимально ее сократить.

    Пример 2

    Необходимо вычесть из алгебраической дроби xx2-4·y2 дробь 2·yx2-4·y2.

    Решение

    Знаменатели исходных дробей равны. Произведем действия с числителями, а именно: вычтем из числителя первой дроби числитель второй, после чего запишем результат, оставляя знаменатель неизменным:

    xx2-4·y2-2·yx2-4·y2=x-2·yx2-4·y2

    Мы видим, что полученная дробь – сократимая. Осуществим ее сокращение, преобразовав знаменатель при помощи формулы разности квадратов:

    x-2·yx2-4·y2=x-2·y(x-2·y)·(x+2·y)=1x+2·y

    Ответ: xx2-4·y2-2·yx2-4·y2=1x+2·y.

    По такому же принципу складываются или вычитаются три и более алгебраических дробей при одинаковых знаменателях. К примеру:

    1x5+2·x3-1+3·x-x4x5+2·x3-1-x2x5+2·x3-1-2·x3x5+2·x3-1=1+3·x-x4-x2-2·x3x5+2·x3-1

    Действия сложения и вычитания при разных знаменателях

    Вновь обратимся к схеме действий с обыкновенными дробями: чтобы выполнить сложение или вычитание обыкновенных дробей с разными знаменателями, необходимо привести их к общему знаменателю, а затем сложить полученные дроби с одинаковыми знаменателями.

    К примеру, 25+13=615+515=1115 или 12-37=714-614=114.

    Так же по аналогии сформулируем правило сложения и вычитания алгебраических дробей с разными знаменателями:

    Определение 2

    Чтобы осуществить сложение или вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями, необходимо:

    • исходные дроби привести к общему знаменателю;
    • выполнить сложение или вычитание полученных дробей с одинаковыми знаменателями.

    Очевидно, что ключевым здесь будет навык приведения алгебраических дробей к общему знаменателю. Разберем подробнее.

    Приведение алгебраических дробей к общему знаменателю

    Чтобы привести алгебраические дроби к общему знаменателю, необходимо осуществить тождественное преобразование заданных дробей, в результате которого знаменатели исходных дробей становятся одинаковыми. Здесь оптимально действовать по следующему алгоритму приведения алгебраических дробей к общему знаменателю:

    • сначала определяем общий знаменатель алгебраических дробей;
    • затем находим дополнительные множители для каждой из дробей, разделив общий знаменатель на знаменатели исходных дробей;
    • последним действием числители и знаменатели заданных алгебраических дробей умножаются на соответствующие дополнительные множители.
    Пример 3

    Заданы алгебраические дроби: a+22·a3-4·a2, a+33·a2-6·a и a+14·a5-16·a3. Необходимо привести их к общему знаменателю.

    Решение

    Действуем по указанному выше алгоритму. Определим общий знаменатель исходных дробей. С этой целью разложим знаменатели заданных дробей на множители: 2·a34·a2=2·a2·(a2), 3·a26·a=3·a·(a2) и 4·a516·a3=4·a3·(a2)·(a+2). Отсюда можем записать общий знаменатель: 12·a3·(a2)·(a+2).

    Теперь нам предстоит найти дополнительные множители. Разделим, согласно алгоритму, найденный общий знаменатель на знаменатели исходных дробей:

    • для первой дроби: 12·a3·(a2)·(a+2):(2·a2·(a2))=6·a·(a+2);
    • для второй дроби:  12·a3·(a2)·(a+2):(3·a·(a2))=4·a2·(a+2);
    • для третьей дроби: 12·a3·(a2)·(a+2):(4·a3·(a2)·(a+2))=3.

    Следующий шаг - умножение числителей и знаменателей заданных дробей на найденные дополнительные множители:

    a+22·a3-4·a2=(a+2)·6·a·(a+2)(2·a3-4·a2)·6·a·(a+2)=6·a·(a+2)212·a3·(a-2)·(a+2)a+33·a2-6·a=(a+3)·4·a2·(a+2)3·a2-6·a·4·a2·(a+2)=4·a2·(a+3)·(a+2)12·a3·(a-2)·(a+2)a+14·a5-16·a3=(a+1)·3(4·a5-16·a3)·3=3·(a+1)12·a3·(a-2)·(a+2)

    Ответ:  a+22·a3-4·a2=6·a·(a+2)212·a3·(a-2)·(a+2);a+33·a2-6·a=4·a2·(a+3)·(a+2)12·a3·(a-2)·(a+2);a+14·a5-16·a3=3·(a+1)12·a3·(a-2)·(a+2).

    Так, мы привели исходные дроби к общему знаменателю. В случае необходимости далее можно преобразовать полученный результат в вид алгебраических дробей, осуществив умножение многочленов и одночленов в числителях и знаменателях.

    Уточним также такой момент: найденный общий знаменатель оптимально оставлять в виде произведения на случай необходимости сократить конечную дробь.

    Мы рассмотрели подробно схему приведения исходных алгебраических дробей к общему знаменателю, теперь можем приступить к разбору примеров на сложение и вычитание дробей с разными знаменателями.

    Пример 4

    Заданы алгебраические дроби: 1-2·xx2+x и 2·x+5x2+3·x+2. Необходимо осуществить действие их сложения.

    Решение

    Исходные дроби имеют разные знаменатели, поэтому первым действием приведем их к общему знаменателю. Раскладываем знаменатели на множители: x2+x=x·(x+1), а x2+3·x+2=(x+1)·(x+2), т.к. корни квадратного трехчлена x2+3·x+2 это числа: -1 и -2. Определяем общий знаменатель: x·(x+1)·(x+2), тогда дополнительные множители будут: x+2 и x для первой и второй дробей соответственно.

    Таким образом: 1-2·xx2+x=1-2·xx·(x+1)=(1-2·x)·(x+2)x·(x+1)·(x+2)=x+2-2·x2-4·xx·(x+1)·x+2=2-2·x2-3·xx·(x+1)·(x+2) и 2·x+5x2+3·x+2=2·x+5(x+1)·(x+2)=2·x+5·x(x+1)·(x+2)·x=2·x2+5·xx·(x+1)·(x+2)

    Теперь сложим дроби, которые мы привели к общему знаменателю:

    2-2·x2-3·xx·(x+1)·(x+2)+2·x2+5·xx·(x+1)·(x+2)==2-2·x2-3·x+2·x2+5·xx·(x+1)·(x+2)=2·2·xx·(x+1)·(x+2)

    Полученную дробь возможно сократить на общий множитель x+1:

    2+2·xx·(x+1)·(x+2)=2·(x+1)x·(x+1)·(x+2)=2x·(x+2)

    И, напоследок, полученный результат запишем в виде алгебраической дроби, заменив произведение в знаменателе многочленом:

    2x·(x+2)=2x2+2·x

    Запишем ход решения кратко в виде цепочки равенств:

    1-2·xx2+x+2·x+5x2+3·x+2=1-2·xx·(x+1)+2·x+5(x+1)·(x+2)==1-2·x·(x+2)x·x+1·x+2+2·x+5·x(x+1)·(x+2)·x=2-2·x2-3·xx·(x+1)·(x+2)+2·x2+5·xx·(x+1)·(x+2)==2-2·x2-3·x+2·x2+5·xx·(x+1)·(x+2)=2·x+1x·(x+1)·(x+2)=2x·(x+2)=2x2+2·x

    Ответ: 1-2·xx2+x+2·x+5x2+3·x+2=2x2+2·x

    Обратите внимание еще на такую деталь: перед тем, как алгебраические дроби сложить или вычесть, при наличии возможности их желательно преобразовать с целью упрощения.

    Пример 5

    Необходимо осуществить вычитание дробей: 2113·x-221 и 3·x-117-2·x.

    Решение

    Преобразуем исходные алгебраические дроби для упрощения дальнейшего решения. Вынесем за скобки числовые коэффициенты переменных в знаменателе:

    2113·x-221=243·x-221=243·x-114 и 3·x-117-2·x=3·x-1-2·x-114

    Данное преобразование однозначно дало нам пользу: мы явно видим наличие общего множителя.

    Избавимся вообще от числовых коэффициентов в знаменателях. Для этого используем основное свойство алгебраических дробей: числитель и знаменатель первой дроби умножим на 34, а второй на -12, тогда получим:

    243·x-114=34·234·43·x-114=32x-114 и 3·x-1-2·x-114=-12·3·x-1-12·-2·x-114=-32·x+12x-114.

    Совершим действие, которое нам позволит избавиться от дробных коэффициентов: умножим полученные дроби на 14:

    32x-114=14·3214·x-114=2114·x-1 и -32·x+12x-114=14·-32·x+12x-114=-21·x+714·x-1.

    Наконец, выполним требуемое в условии задачи действие – вычитание:

    2113·x-221-3·x-117-2·x=2114·x-1--21·x+714·x-1=21--21·x+714·x-1=21·x+1414·x-1

    Ответ: 2113·x-221-3·x-117-2·x=21·x+1414·x-1.

    Сложение и вычитание алгебраической дроби и многочлена

    Данное действие сводится также к сложению или вычитанию алгебраических дробей: необходимо представить исходный многочлен как дробь со знаменателем 1.

    Пример 6

    Необходимо произвести сложение многочлена x23 с алгебраической дробью 3·xx+2.

    Решение

    Запишем многочлен как алгебраическую дробь со знаменателем 1x2-31

    Теперь можем выполнить сложение по правилу сложения дробей с разными знаменателями:

    x2-3+3·xx+2=x2-31+3·xx+2=x2-3·(x+2)1·x+2+3·xx+2==x3+2·x2-3·x-6x+2+3·xx+2=x3+2·x2-3·x-6+3·xx+2==x3+2·x2-6x+2

    Ответ: x2-3+3·xx+2=x3+2·x2-6x+2.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,9 из 5 (12 голосов)