Приведение многочленов к стандартному виду: примеры и решение

Учимся приводить многочлены к стандартному виду

    В изучении темы о многочленах отдельно стоит упомянуть о том, что многочлены встречаются как стандартного, так и не стандартного вида. При этом многочлен нестандартного вида можно привести к стандартному виду. Собственно, этот вопрос и будем разбирать в данной статье. Закрепим разъяснения примерами с подробным пошаговым описанием.

    Смысл приведения многочлена к стандартному виду

    Немного углубимся в само понятие, действие – «приведение многочлена к стандартному виду».

    Многочлены, подобно любым другим выражениям, возможно тождественно преобразовывать. Как итог, мы получаем в таком случае выражения, которые тождественно равны исходному выражению.

    Определение 1

    Привести многочлен к стандартному виду – означает замену исходного многочлена на равный ему многочлен стандартного вида, полученный из исходного многочлена при помощи тождественных преобразований.

    Способ приведения многочлена к стандартному виду

    Порассуждаем на тему того, какие именно тождественные преобразования приведут многочлен к стандартному виду.

    Определение 2

    Согласно определению, каждый многочлен стандартного вида состоит из одночленов стандартного вида и не имеет в своем составе подобных членов. Многочлен же нестандартного вида может включать в себя одночлены нестандартного вида и подобные члены. Из сказанного закономерно выводится правило, говорящее о том, как привести многочлен к стандартному виду:

    • в первую очередь к стандартному виду приводятся одночлены, составляющие заданный многочлен;
    • затем производится приведение подобных членов.

    Примеры и решения

    Разберем подробно примеры, в которых приведем многочлен к стандартному виду. Следовать будем правилу, выведенному выше.

    Отметим, что иногда члены многочлена в исходном состоянии уже имеют стандартный вид, и остается только привести подобные члены. Случается, что после первого шага действий не оказывается подобных членов, тогда второй шаг пропускаем. В общих случаях необходимо совершать оба действия из правила выше.

    Пример 1

    Заданы многочлены:

    5·x2·y+2·y3x·y+1,

    0,8+2·a3·0,6b·a·b4·b5,

    237·x2+12·y·x·(-2)-167·x·x+9-47·x2-8 .

    Необходимо привести их к стандартному виду.

    Решение

    рассмотрим сначала многочлен 5·x2·y+2·y3x·y+1: его члены имеют стандартный вид, подобные члены отсутствуют, значит многочлен задан в стандартном виде, и никаких дополнительных действий не требуется.

    Теперь разберем многочлен 0,8+2·a3·0,6b·a·b4·b5. В его состав входят нестандартные одночлены: 2·a3·0,6 и b·a·b4·b5, т.е. имеем необходимость привести многочлен к стандартному виду, для чего первым действием преобразуем одночлены в стандартный вид:

    2·a3·0,6=1,2·a3;

    b·a·b4·b5=a·b1+4+5=a·b10, таким образом получаем следующий многочлен:

    0,8+2·a3·0,6b·a·b4·b5=0,8+1,2·a3a·b10.

    В полученном многочлене все члены – стандартные, подобных членов не имеется, значит наши действия по приведению многочлена к стандартному виду завершены.

    Рассмотрим третий заданный многочлен: 237·x2+12·y·x·(-2)-167·x·x+9-47·x2-8

    Приведем его члены к стандартному виду и получим:

    237·x2-x·y-167·x2+9-47·x2-8 .

    Мы видим, что в составе многочлена имеются подобные члены, произведем приведение подобных членов:

    237·x2-x·y-167·x2+9-47·x2-8==237·x2-167·x2-47·x2-x·y+(9-8)==x2·237-167-47-x·y+1==x2·177-137-47-x·y+1==x2·0-x·y+1=x·y+1

    Таким образом, заданный многочлен 237·x2+12·y·x·(-2)-167·x·x+9-47·x2-8  принял стандартный вид  x·y+1.

    Ответ:

    5·x2·y+2·y3x·y+1  - многочлен задан стандартным;

    0,8+2·a3·0,6b·a·b4·b5=0,8+1,2·a3a·b10;

    237·x2+12·y·x·(-2)-167·x·x+9-47·x2-8=-x·y+1 .

    Во многих задачах действие приведения многочлена к стандартному виду – промежуточное при поиске ответа на заданный вопрос. Рассмотрим и такой пример.

    Пример 2

    Задан многочлен 11-23z2·z+13·z5·3-0.5·z2+z3 . Необходимо привести его к с стандартному виду, указать его степень и расположить члены заданного многочлена по убывающим степеням переменной.

    Решение

    Приведем члены заданного многочлена к стандартному виду:

    11-23z3+z5-0.5·z2+z3.

    Следующим шагом приведем подобные члены:

    11-23z3+z5-0.5·z2+z3=11+-23·z3+z3+z5-0,5·z2==11+13·z3+z5-0,5·z2

    Мы получили многочлен стандартного вида, что дает нам возможность обозначить степень многочлена (равна наибольшей степени составляющих его одночленов). Очевидно, что искомая степень равна 5.

    Остается только расположить члены по убывающим степеням переменных. С этой целью мы просто переставим местами члены в полученном многочлене стандартного вида с учетом требования. Таким образом, получим:

    z5+13·z3-0,5·z2+11 .

    Ответ:

    11-23·z2·z+13·z5·3-0,5·z2+z3=11+13·z3+z5-0,5·z2 , при этом степень многочлена  5; в результате расположения членов многочлена по убывающим степеням переменных многочлен примет вид: z5+13·z3-0,5·z2+11.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,3 из 5 (13 голосов)