Определение одночлена: сопутствующие понятия, примеры

Определение одночлена: сопутствующие понятия, примеры

    Одночлены являются одним из основных видов выражений, изучаемых в рамках школьного курса алгебры. В этом материале мы расскажем, что это за выражения, определим их стандартный вид и покажем примеры, а также разберемся с сопутствующими понятиями, такими как степень одночлена и его коэффициент.

    Что такое одночлен

    В школьных учебниках обычно дается следующее определение этого понятия:

    Определение 1

    К одночленам относятся числа, переменные, а также их степени с натуральным показателем и разные виды произведений, составленные из них.

    Исходя из этого определения, мы можем привести примеры таких выражений. Так, все числа 2, 8, 3004, 0, -4, -6, 0,78, 14, -437 будут относиться к одночленам. Все переменные, например, x ,a, b, p, q, t, y, z тоже будут по определению одночленами. Сюда же можно отнести степени переменных и чисел, например, 63, (7,41)7, x2 и t15, а также выражения вида 65·x, 9·(7)·x·y3·6, x·x·y3·x·y2·z  и т.д. Обратите внимание, что в состав одночлена может входить как одно число или переменная, так и несколько, причем они могут быть упомянуты несколько раз в составе одного многочлена.

    Такие виды чисел, как целые, рациональные, натуральные тоже относятся к одночленам. Также сюда можно включить действительные и комплексные числа. Так, выражения вида 2+3·i·x·z4, 2·x, 2·π·x3  тоже будут одночленами.

    Что такое стандартный вид одночлена и как привести выражение к нему

    Для удобства работы все одночлены сначала приводят к особому виду, называемому стандартным. Сформулируем конкретно, что же это значит.

    Определение 2

    Стандартным видом одночлена называют такой его вид, в которой он представляет из себя произведение числового множителя и натуральных степеней разных переменных. Числовой множитель, также называемый коэффициентом одночлена, обычно записывают первым с левой стороны.

    Для наглядности подберем несколько одночленов стандартного вида: 6 (это одночлен без переменных), 4·a, 9·x2·y3  , 235·x7. Сюда же можно отнести выражение x·y (здесь коэффициент будет равен 1), x3 (тут коэффициент равен -1).

    Теперь приведем примеры одночленов, которые нужно привести к стандартному виду: 4·a·a2·a3  (здесь нужно объединить одинаковые переменные), 5·x·(1)·3·y2 (тут нужно объединить слева числовые множители).

    Обычно в случае, когда одночлен имеет несколько переменных, записанных буквами, буквенные множители записывают в алфавитном порядке. Например, предпочтительнее запись 6·a·b4·c·z2, чем b4·6·a·z2·c.  Однако порядок может быть и другим, если этого требует цель вычисления.

    Привести к стандартному виду можно любой одночлен. Для этого нужно выполнить все необходимые тождественные преобразования.

    Понятие степени одночлена

    Очень важным является сопутствующее понятие степени одночлена. Запишем определение данного понятия.

    Определение 3

    Степенью одночлена, записанного в стандартном виде, является сумма показателей степеней всех переменных, которые входят в его запись. Если ни одной переменной в нем нет, а сам одночлен отличен от 0, то его степень будет нулевой.

    Сам нуль принято считать одночленом с неопределенной степенью.

    Приведем примеры степеней одночлена.

    Пример 1

    Так, одночлен a имеет степень, равную 1, поскольку a= a1 . Если у нас есть одночлен 7,то он будет иметь нулевую степень, поскольку в нем нет переменных и он отличен от 0. А вот запись 7·a2·x·y3·a2  будет одночленом 8-й степени, ведь сумма показателей всех степеней переменных, включенных в него, будет равна 8: 2+1+3+2=8.

    Одночлен, приведенный к стандартному виду, и исходный многочлен будут иметь одинаковую степень.

    Пример 2

    Покажем, как подсчитать степень одночлена 3·x2·y3·x·(2)·x5·y. В стандартном виде его можно записать как 6·x8·y4 . Вычисляем степень: 8+4=12. Значит, степень исходного многочлена также равна 12.

    Понятие коэффициента одночлена

    Если у нас есть одночлен, приведенный к стандартному виду, который включает в себя хотя бы одну переменную, то мы говорим о нем как о произведении с одним числовым множителем. Этот множитель называют числовым коэффициентом, или коэффициентом одночлена. Запишем определение.

    Определение 4

    Коэффициентом одночлена называют числовой множитель одночлена, приведенного к стандартному виду.

    Возьмем для примера коэффициенты различных одночленов.

    Пример 3

    Так, в выражении 8·a3 коэффициентом будет число 8, а в (2,3)·x·y·z им будет 2,3.

    Особое внимание надо уделить коэффициентам, равным единице и минус единице. Как правило, в явном виде их не указывают. Считается, что в одночлене стандартного вида, в котором нет числового множителя, коэффициент равен 1, например, в выражениях a, x·z3, a·t·x, поскольку их можно рассматривать как как 1·a, x·z3 – как 1·x·z3 и т.д.

    Точно так же в одночленах, в которых нет числового множителя и которые начинаются со знака минус, мы можем считать коэффициентом -1.

    Пример 4

    Например, такой коэффициент будет у выражений x, x3·y·z3 , поскольку они могут быть представлены как x=(1)·x, x3·y·z3=(1)·x3·y·z3  и т.д.

    Если у одночлена вообще нет ни одного буквенного множителя, то говорить о коэффициенте можно и в этом случае. Коэффициентами таких одночленов-чисел будут сами эти числа. Так, например, коэффициент одночлена 9 будет равен 9.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,3 из 5 (15 голосов)