Многочлен: его стандартный вид, степень и коэффициенты членов

Многочлен, его стандартный вид, степень и коэффициенты членов

    После изучения одночленов переходим к многочленам. Данная статья расскажет о всех необходимых сведениях, необходимых для выполнения действий над ними. Мы определим многочлен с сопутствующими определениями члена многочлена, то есть свободный и подобный, рассмотрим многочлен стандартного вида, введем степень и научимся  ее находить, поработаем с его коэффициентами.

    Многочлен и его члены – определения и примеры

    Определение многочлена было надо еще в 7 классе после изучения одночленов. Рассмотрим его полное определение.

    Определение 1

    Многочленом считается сумма одночленов, причем сам одночлен – это частный случай многочлена.

    Из определения следует, что примеры многочленов могут быть различными: 501x5·a·b3x2·0,6·x·(2)·y12-213·x·y2·323·x·x3·y·z и так далее. Из определения имеем, что 1+xa2+b2 и выражение x2-2·x·y+25·x2+y2+5,2·y·x являются многочленами.

    Рассмотрим еще определения.

    Определение 2

    Членами многочлена называются его составляющие одночлены.

    Рассмотрим такой пример, где имеем многочлен 3·x42·x·y+3y3, состоящий из 4 членов: 3·x42·x·y3 и y3. Такой одночлен можно считать многочленом, который состоит из одного члена.

    Определение 3

    Многочлены, которые имеют в своем составе 2, 3 трехчлена имеют соответственное название – двучлен и трехчлен.

    Отсюда следует, что выражение вида x+y – является двучленом, а выражение 2·x3·qq·x·x+7·b – трехчленом.

    По школьной программе работали с линейным двучленом вида a·x+b, где а и b являются некоторыми числами, а х – переменной. Рассмотрим примеры линейных двучленов вида: x+1x·7,24 с примерами квадратных трехчленов x2+3·x5 и  25·x2-3x+11.

    Для преобразования и решения необходимо находить и приводить подобные слагаемые. Например, многочлен вида 1+5·x3+y+2·x имеет подобные слагаемые 1 и -3, 5х и 2х. Их подразделяют в особую группу под названием подобных членов многочлена.

    Определение 4

    Подобные члены многочлена – это подобные слагаемые, находящиеся в многочлене.

    В примере, приведенном выше, имеем, что 1 и -3, 5х и 2х являются подобными членами многочлена или подобными слагаемыми. Для того, что бы упростить выражение, применяют нахождение  и приведение подобных слагаемых.

    Многочлен стандартного вида

    У всех одночленов и многочленов имеются свои определенные названия.

    Определение 5

    Многочленом стандартного вида называют многочлен, у которого каждый входящий в него член  имеет одночлен стандартного вида и не содержит подобных членов.

    Из определения видно, что возможно приведение многочленов стандартного вида, например, 3·x2x·y+1 и __formula__, причем запись в стандартном виде. Выражения 5+3·x2x2+2·x·z и 5+3·x2x2+2·x·z многочленами стандартного вида не является, так как первый из них имеет подобные слагаемые в виде 3·x2 и x2,  а второй содержит одночлен вида x·y3·x·z2, отличающийся от  стандартного многочлена.

    Если того требуют обстоятельства, иногда многочлен приводится к стандартному виду. Многочленом стандартного вида считается и понятие свободного члена многочлена.

    Определение 6

    Свободным членом многочлена является многочлен стандартного вида, не имеющий буквенной части.

    Иначе говоря, когда запись многочлена в стандартном виде имеет число, его называют свободным членом. Тогда число 5  является свободным членом многочлена x2·z+5, а многочлен 7·a+4·a·b+b3 свободного члена не имеет.

    Степень многочлена – как ее найти?

    Определение самой степени многочлена базируется на определении многочлена стандартного вида и на степенях одночленов, которые являются его составляющими.

    Определение 7

    Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней, входящих в его запись.

    Рассмотрим на примере. Степень многочлена 5·x34 равняется 3, потому как одночлены, входящие в его состав, имеют степени 3 и 0, а большее из них 3 соответственно. Определение степени из многочлена 4·x2·y35·x4·y+6·x равняется наибольшему из  чисел, то есть 2+3=54+1=5 и 1, значит 5.

    Следует выяснить, каким образом находится сама степень.

    Определение 8

    Степень многочлена произвольного числа  - это степень соответствующего ему многочлена в стандартном виде.

    Когда многочлен записан не в стандартном виде, но нужно найти его степень, необходимо приведение к стандартному, после чего находить искомую степень.

    Пример 1

    Найти степень многочлена 3·a122·a·b·c·a·c·b+y2·z22·a12a12.

    Решение

    Для начала представим многочлен в стандартном виде. Получим выражение вида:

    3·a122·a·b·c·a·c·b+y2·z22·a12a12= =(3·a122·a12a12)2·(a·a)·(b·b)·(c·c)+y2·z2= =2·a2·b2·c2+y2·z2

    При получении многочлена стандартного вида получаем, что  отчетливо выделяются два из них 2·a2·b2·c2 и y2·z2. Для нахождения степеней посчитаем и получим, что 2+2+2=6 и 2+2=4. Видно, что наибольшая из них равняется 6. Из определения следует, что именно 6 является степенью многочлена 2·a2·b2·c2+y2·z2, следовательно и исходного значения.

    Ответ: 6.

    Коэффициенты членов многочлена

    Определение 9

    Когда все члены многочлена являются одночленами стандартного вида, то в таком случаем они имеют название коэффициентов членов многочлена. Иначе говоря, их можно называть коэффициентами многочлена.

    При рассмотрении примера видно, что многочлен вида 2·x0,5·x·y+3·x+7 имеет в  своем составе 4 многочлена: 2·x0,5·x·y3·x и 7 с соответствующими их коэффициентами 20,53 и 7. Значит, 20,53 и 7 считаются коэффициентами членов заданного многочлена вида 2·x0,5·x·y+3·x+7. При преобразовании важно обращать внимание на коэффициенты, стоящие перед переменными.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,2 из 5 (9 голосов)