Действия с алгебраическими дробями

Содержание:

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

После полученных начальных сведений о дробях перейдем к действиям с алгебраическими дробями. С ними можно выполнять любые действия вплоть до возведения в степень. При их выполнении мы в итоге получаем алгебраическую дробь. Все пункты необходимо разбирать последовательно.

Действия с алгебраическими дробями аналогичны действиям с обыкновенными дробями. Поэтому стоит отметить, что правила являются совпадающими при любых выполняемых с ними действиями.

Сложение алгебраических дробей

Сложение может выполняться в двух случаях: при одинаковых знаменателях, при наличии разных знаменателей.

Если необходимо произвести сложение дробей с одинаковыми знаменателями, нужно сложить числители, а знаменатель оставить без изменения. Это правило позволяет воспользоваться сложением дробей и многочленов, которые находятся в числителях. Получим, что

$\frac{a^{2} + a \cdot b}{a \cdot b - 5} + \frac{2 \cdot a \cdot b + 3}{a \cdot b - 5} + \frac{2 \cdot b^{4} - 4}{a \cdot b - 5} = \frac{a^{2} + a \cdot b + 2 \cdot a \cdot b + 3 + 2 \cdot b^{4} - 4}{a \cdot b - 5} = = \frac{a^{2} + 3 \cdot a \cdot b - 1 + 2 \cdot b^{4}}{a \cdot b - 5}$

Если имеются числители дроби с разными числителями, тогда необходимо применить правило: воспользоваться приведением к общему знаменателю, выполнить сложение полученных дробей.

Пример 1

Нужно произвести сложение дробей $\frac{x}{x^{2} - 1}$ и $\frac{3}{x^{2} - x}$

Решение

Приводим к общему знаменателю вида $\frac{x^{2}}{x \cdot (x - 1) \cdot (x + 1)}$ и $\frac{3 \cdot x + 3}{x \cdot (x - 1) \cdot (x + 1)}$ .

Выполним сложение и получим, что

$\frac{x^{2}}{x \cdot (x - 1) \cdot (x + 1)} + \frac{3 \cdot x + 3}{x \cdot (x - 1) \cdot (x + 1)} = \frac{x^{2} + 3 \cdot x + 3}{x \cdot (x - 1) \cdot (x + 1)} = \frac{x^{2} + 3 \cdot x + 3}{x^{3} - x}$

Ответ: $\frac{x^{2} + 3 \cdot x + 3}{x^{3} - x}$

Статья о сложении и вычитании таких дробей имеет подробную информацию, где подробно описано каждое действие, производимое над дробями. При выполнении сложения возможно появление сократимой дроби.

Вычитание

Вычитание выполняется аналогично сложению. При одинаковых знаменателях действия выполняются только в числителе, знаменатель остается неизменным. При различных знаменателях выполняется приведение к общему. Только после этого можно приступать к вычислениям.

Пример 2

Перейдем к вычитанию дробей $\frac{a + 5}{a^{2} + 2}$ и $\frac{1 - 2 \cdot a^{2} + a}{a^{2} + 2}$ .

Решение

Видно, что знаменатели идентичны, что означает $\frac{a + 5}{a^{2} + 2} - \frac{1 - 2 \cdot a^{2} + a}{a^{2} + 2} = \frac{a + 5 - (1 - 2 \cdot a^{2} + a)}{a^{2} + 2} = \frac{2 \cdot a^{2} + 4}{a^{2} + 2}$ .

Произведем сокращение дроби $\frac{2 \cdot a^{2} + 4}{a^{2} + 2} = \frac{2 \cdot (a^{2} + 2)}{a^{2} + 2} = 2$ .

Ответ: $2$

Пример 3

Выполним вычитание $\frac{4}{5 \cdot x}$ и $\frac{3}{x - 1}$ .

Решение

Знаменатели разные, поэтому приведем к общему $5 \cdot x \cdot (x - 1)$ , получаем $\frac{4}{5 \cdot x} = \frac{4 \cdot (x - 1)}{5 \cdot x \cdot (x - 1)} = \frac{4 \cdot x - 4}{5 \cdot x \cdot (x - 1)}$ и $\frac{3}{x - 1} = \frac{3 \cdot 5 \cdot x}{(x - 1) \cdot 5 \cdot x} = \frac{15 \cdot x}{5 \cdot x \cdot (x - 1)}$ .

Теперь выполним

$\frac{4}{5 \cdot x} - \frac{3}{x - 1} = \frac{4 \cdot x - 4}{5 \cdot x \cdot (x - 1)} - \frac{15 \cdot x}{5 \cdot x \cdot (x - 1)} = \frac{4 \cdot x - 4 - 15 \cdot x}{5 \cdot x \cdot (x - 1)} = = \frac{- 4 - 11 \cdot x}{5 \cdot x \cdot (x - 1)} = \frac{- 4 - 11 \cdot x}{5 \cdot x^{2} - 5 \cdot x}$

Ответ: $\frac{- 4 - 11 \cdot x}{5 \cdot x^{2} - 5 \cdot x}$

Детальная информация указана в статье о сложении и вычитании алгебраических дробей.

Умножение алгебраических дробей

С дробями можно производить умножение аналогичное умножению обыкновенных дробей: для того, чтобы умножить дроби, необходимо произвести умножение числителей и знаменателей отдельно.

Рассмотрим пример такого плана.

Пример 4

При умножении $\frac{2}{x + 2}$ на $\frac{x - x \cdot y}{y}$ из правила получаем, что $\frac{2}{x + 2} \cdot \frac{x - x \cdot y}{y} = \frac{2 \cdot (x - x \cdot y)}{(x + 2) \cdot y}$ .

Теперь необходимо выполнить преобразования, то есть умножить одночлен на многочлен. Получаем, что

$\frac{2 \cdot (x - x \cdot y)}{(x + 2) \cdot y} = \frac{2 \cdot x - 2 \cdot x \cdot y}{x \cdot y + 2 \cdot y}$

Предварительно следует произвести разложение дроби на многочлены для того, чтобы упростить дробь. После можно производить сокращение. Имеем, что

$\frac{2 \cdot x^{3} - 8 \cdot x}{3 \cdot x \cdot y - y} \cdot \frac{6 \cdot y^{5}}{x^{2} + 2 \cdot x} = \frac{2 \cdot x \cdot (x - 2) \cdot (x + 2)}{y \cdot (3 \cdot x - 1)} \cdot \frac{6 \cdot y^{5}}{x \cdot (x + 2)} = = \frac{2 \cdot x \cdot (x - 2) \cdot (x + 2) \cdot 6 \cdot y^{5}}{y \cdot (3 \cdot x - 1) \cdot x \cdot (x + 2)} = \frac{12 \cdot (x - 2) \cdot y^{4}}{3 \cdot x - 1} = \frac{12 \cdot x \cdot y^{4} - 24 \cdot y^{4}}{3 \cdot x - 1}$

Подробное рассмотрение данного действия можно найти в статье умножения и деления дробей.

Деление

Рассмотрим деление с алгебраическими дробями. Применим правило: для того, чтобы разделить дроби, необходимо первую умножить на обратную вторую.

Дробь, которая обратная данной считается дробь с поменянными местами числителем и знаменателем. То есть, эта дробь называется взаимообратной.

Рассмотрим пример.

Пример 5

Выполнить деление $\frac{x^{2} - x \cdot y}{9 \cdot y^{2}} : \frac{2 \cdot x}{3 \cdot y}$ .

Решение

Тогда обратная $\frac{2 \cdot x}{3 \cdot y}$ дробь запишется как $\frac{3 \cdot y}{2 \cdot x}$ . Значит, получим, что $\frac{x^{2} - x \cdot y}{9 \cdot y^{2}} : \frac{2 \cdot x}{3 \cdot y} = \frac{x^{2} - x \cdot y}{9 \cdot y^{2}} \cdot \frac{3 \cdot y}{2 \cdot x} = \frac{x \cdot (x - y) \cdot 3 \cdot y}{9 \cdot y^{2} \cdot 2 \cdot x} = \frac{x - y}{6 \cdot y}$ .

Ответ: $\frac{x^{2} - x \cdot y}{9 \cdot y^{2}} : \frac{2 \cdot x}{3 \cdot y} = \frac{x - y}{6 \cdot y}$

Возведение алгебраической дроби в степень

Если имеется натуральная степень, тогда необходимо применять правило действий с возведением в натуральную степень. При таких вычислениях используем правило: при возведении в степень нужно числитель и знаменатель отдельно возводить в степени, после чего записать результат.

Пример 6

Рассмотрим на примере дроби $\frac{2 \cdot x}{x - y}$ . Если необходимо возвести ее в степень равную $2$ , тогда выполняем действия : ${(\frac{2 \cdot x}{x - y})}^{2} = \frac{{(2 \cdot x)}^{2}}{(x - y)^{2}}$ . После чего возводим в степень получившийся одночлен. Выполнив действия, получим, что дроби примет вид $\frac{4 \cdot x^{2}}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot y + y^{2}}$ .

Детальное решение подобных примеров рассматривается в статье про возведение алгебраической дроби в степень.

При работе со степенью дроби необходимо помнить, что числитель и знаменатель отдельно возводятся в степень. Это заметно упрощает процесс решения и дальнейшего упрощения дроби. Стоит обращать внимание и на знак перед степенью. Если имеется знак «минус», то такую дробь следует переворачивать для простоты вычисления.

Курсовая работа по математике

от 5 дней/ от 2160 р.

Реферат по математике

от 1 дня/ от 840 р.

Решение задач по математике

от 1 дня/ от 150 р.