Условие коллинеарности векторов, когда векторы параллельны, свойства коллинеарных векторов

Условие коллинеарности векторов

    В статье ниже рассмотрим условия, при которых векторы считаются коллинеарными, а также разберем тему на конкретных примерах. И, прежде чем приступить к обсуждению, напомним некоторые определения.

    Определение 1

    Коллинеарные векторы – ненулевые векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых. Нулевой вектор считается коллинеарным любому другому.

    Данное определение дает возможность убедиться в коллинеарности векторов в их геометрическом отображении, однако точность такого способа может иметь погрешности, например, в зависимости, от качества самого чертежа. Поэтому обратимся к алгебраическому толкованию: сформируем условие, которое будет явным признаком коллинеарности.

    Согласно схемам операций над векторами умножение вектора на некоторое заданное число приводит к соответствующему сжатию или растяжению вектора при сохранении или смене направления. Тогда вектор b=λ·a коллинеарен вектору a , где λ – некоторое действительное число. Справедливым будет и обратное утверждение: если вектор b коллинеарен вектору a, его можно представить в виде λ·a. Это является необходимым и достаточным условием коллинеарности двух ненулевых векторов.

    Определение 2

    Для коллинеарности двух векторов необходимо и достаточно, чтобы они были связаны равенствами: b=λ·a или a=μ·b,   μR

    Координатная форма условия коллинеарности векторов

    Исходные данные: вектор a задан в некоторой прямоугольной системе координат на плоскости и имеет координаты (ax, ay), тогда, согласно полученному выше условию, вектор b=λ·a имеет координаты (λ·ax, λ·ay).

    По аналогии: если вектор a задан в трехмерном пространстве, то он будет представлен в виде координат a=(ax, ay, az) , а вектор b=λ·a имеет координаты (λ·ax, λ·ay, λ·az). Из полученных утверждений следуют условия коллинеарности двух векторов в координатном толковании.

    Определение 3
    1.   ​​​Для коллинеарности двух ненулевых векторов на плоскости необходимо и достаточно, чтобы их координаты были связаны соотношениями:  bx=λ·axby=λ·ay  или ax=μ·bxay=μ·by
    2. Для коллинеарности двух ненулевых векторов в пространстве необходимо и достаточно, чтобы их координаты были связаны соотношениями:   bx=λ·axby=λ·ay bz=λ·azили ax=μ·bxay=μ·by az=μ·bz

    Мы можем также получить еще одно условие коллинеарности векторов, опираясь на понятие их произведения.

    Если ненулевые векторы a=(ax, ay, az) и b=(bx, by, bz) коллинеарны, то согласно векторному определению произведения a×b=0. И это также соответствует равенству: ijkaxayazbxbybz=0, что, в свою очередь, возможно только тогда, когда заданные векторы связаны соотношениями b=λ·a и a=μ·b , где μ - произвольное действительное число (на основании теоремы о ранге матрицы), что указывает на факт коллинеарности векторов.

    Определение 4

    Два ненулевых вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору.

    Рассмотрим применение условия коллинеарности на конкретных примерах.

    Пример 1

    Исходные данные: векторы  a=(3-22, 1) и b=(12+1, 2+1) . Необходимо определить, коллинеарны ли они.

    Решение

    Выполним задачу, опираясь на условие коллинеарности векторов на плоскости в координатах: bx=λ·axby=λ·ay Подставив заданные значения координат, получим: bx=λ·ax12+1=λ·(3-22)λ=1(2+1)·(3-22)=132-4+3-22=12-1by=λ·ay2+1=12-1·1(2+1)·(2-1)=1 11

    Т.е. b=12-1·a, следовательно, заданные векторы коллинеарны.

    Ответ: заданные векторы коллинеарны.

    Пример 2

    Исходные данные: векторы a=(1, 0, -2) и b=(-3, 0, 6) . Необходимо убедиться в их коллинеарности.

    Решение

    Т.к. bx=λ·axby=λ·ay bz=λ·az-3=-3·10=-3·06=-3·(-2) , то верным будет равенство: b=-3·a , что является необходимым и достаточным условием коллинеарности. Таким образом, заданные векторы коллинеарны.

    Найдем также векторное произведение заданных векторов и убедимся, что оно равно нулевому вектору: a×b=ijkaxayazbxbybz=ijk10-2-306=i·0·6+j·(-2)·(-3)+k·1·0-k·0·(-3)-j·1·6-i·(-2)·0=0Ответ: заданные векторы коллинеарны.

    Пример 3

    Исходные данные: векторы a=(2, 7) и b=(p, 3) . Необходимо определить, при каком значении p заданные векторы будут коллинеарны.

    Решение

    Согласно выведенному выше условию, векторы коллинеарны, если

    b=λ·abx=λ·axby=λ·ayp=λ·23=λ·7

    тогда λ=37, а p=λ·2p=67

     Ответ: при p=67 заданные векторы коллинеарны.

    Также распространены задачи на нахождения вектора, коллинеарного заданному. Решаются они без затруднений, основываясь на условии коллинеарности: : достаточным будет взять произвольное действительное число λ и определить вектор, коллинеарный данному.

    Пример 4

    Исходные данные: вектор a=(2, -6) . Необходимо найти любой ненулевой вектор, коллинеарный заданному.

    Решение

    Ответом может послужить, например, 12·a=(1, -3) или вектор 3·a=(6, -18) .

    Ответ: вектор, коллинеарный заданному имеет координаты (1, -3).

    Пример 5

    Исходные данные: вектор a=(3, 4, -5) . Необходимо определить координаты вектора единичной длины, коллинеарного заданному.

    Решение

    Вычислим длину заданного вектора по его координатам: a=ax2+bx2+cx2=32+42+(-5)2=52 Разделим каждую из заданных координат на полученную длину и получим единичный вектор, коллинеарный данному: 1a·a=(352, 452,- 12)

    Ответ: (352, 452,- 12)

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,1 из 5 (13 голосов)