Смешанное произведение векторов: свойства примеры и решения, геометрический смысл смешанного произведения векторов

Смешанное произведение векторов, его свойства, примеры и решения

    Для того, чтобы подробно рассмотреть такую тему, нужно охватить еще несколько разделов. Тема напрямую связана с такими терминами, как скалярное и векторное произведение. В этой статье мы постарались дать точное определение, указать формулу, которая поможет определить произведение, используя координаты векторов. Помимо этого, статья включает в себя разделы с перечислением свойств произведения и представлены подробный разбор типовых равенств и задач.

    Термин

    Для того, чтобы определить, в чем заключается данный термин, нужно взять три вектора.

    Определение 1

    Смешанным произведением a, b и d является та величина, которая равняется скалярному произведению a×b и d , где a×b - умножение a и b . Операцию умножения a, b и d зачастую обозначают a·b·d . Можно преобразовать формулу так:a·b·d=(a×b,d) .

    Умножение в системе координат

    Мы можем умножить вектора, если они указаны на координатной плоскости.

    Возьмем i, j, k

    Произведение векторов в данном конкретном случае будет иметь следующий вид:a×b=(ay·bz-az·by)·i+(az·bx+ax·bz)·j+(ax·by+ay·bx)·k=ayazbybz·i-axazbxbz·j+axaybxby·k

    Определение 2

    Для выполнения скалярного произведения в системе координат необходимо сложить результаты, полученный во время умножения координат.

    Из этого следует:

    a×b=(ay·bz-az·by)·i+(az·bx+ax·bz)·j+(ax·by+ay·bx)·k=ayazbybz·i-axazbxbz·j+axaybxby·k

    Мы также можем определить смешанное произведение векторов, если в заданной системе координат указаны координаты векторов, которые умножаются.

    a×b=( ayazbybz·i-axazbxbz·j+axaybxby·k, dx·i+dy·j+dz·k)==ayazbybz·dx-axazbxbz·dy+axaybxby·dz=axayazbxbybzdxdydz

    Таким образом, можно сделать вывод, что:

    a·b·d=a×b, d=axayazbxbybzdxdydz

    Определение 3

    Смешанное произведение можно приравнять к определителю матрицы, в качестве строк которой использованы векторные координаты. Наглядно это выглядит так: a·b·d=a×b, d=axayazbxbybzdxdydz .

    Свойства операции над векторами Из особенностей, которые выделяются в скалярном или векторном произведении, можно вывести особенности, которые характеризуют смешанное произведение. Ниже мы приведем основные свойства.

    1. (λ·a)·b·d=a·(λ·b)·d=a·b·(λ·d)=λ·a·b·d    λR ;
    2. a·b·d=d·a·b=b·d·a;   a·d·b=b·a·d=d·b·a ;
    3. (a(1)+a(2))·b·d=a(1)·b·d+a(2)·b·da·(b(1)+b(2))·d=a·b(1)·d+a·b(2)·da·b·(d(1)+d(2))=a·b·d(2)+a·b·d(2)

    Помимо приведенных свойств, следует уточнить, что если множитель нулевой, то результатом умножения также станет нуль.

    Результатом умножения также будет нуль в том случае, если два или больше множителей равны.

    Действительно, если a=b , то, следуя определению векторного произведения [a×b]=a·b·sin 0 =0 , следовательно, смешанное произведение равно нулю, так как ([a×b], d)=(0, d)=0 .

    Если же a=b или b=d , то угол между векторами [a×b] и d равен π2 . По определению скалярного произведения векторов ([a×b], d)=[a×b]·d·cosπ2=0 .

    Свойства операции умножения чаще всего требуются во время решения задач.
    Для того, чтобы подробно разобрать данную тему, возьмем несколько примеров и подробно их распишем.

    Пример 1

    Докажите равенство ([a×b], d+λ·a+b)=([a×b], d) , где λ - некоторое действительное число.

    Для того, чтобы найти решение этого равенства, следует преобразовать его левую часть. Для этого необходимо воспользоваться третьим свойством смешанного произведения, которое гласит:

    ([a×b], d+λ·a+b)=([a×b], d)+([a×b], λ·a)+([a×b], b)
    Мы разобрали, что (([a×b], b)=0. Из этого следует, что
    ([a×b], d+λ·a+b)=([a×b], d)+([a×b], λ·a)+([a×b], b)==([a×b], d)+([a×b], λ·a)+0=([a×b], d)+([a×b], λ·a)

    Согласно первому свойству ([a×b], λ·a)=λ·([a×b],a) , а ([a×b], a)=0 . Таким образом, ([a×b], λ·a) . Поэтому,
    ([a×b], d+λ·a+b)=([a×b], d)+([a×b], λ·a)==([a×b], d)+0=([a×b], d)

    Равенство доказано.

    Пример 2

    Необходимо доказать, что модуль смешанного произведения трех векторов не больше, чем произведения их длин.

    Решение

    Исходя из условия, можно представить пример в виде неравенства a×b, da·b·d .

    По определению, преобразуем неравенство a×b, d=a×b·d·cos(a×b^, d)==a·b·sin(a, b^)·d·cos([a×b^], d)

    Используя элементарные функции, можно сделать вывод, что 0sin(a, b^)1,  0cos([a×b^], d)1 .

    Из этого можно сделать вывод, что
    (a×b, d)=a·b·sin(a, b)^·d·cos(a×b^, d)a·b·1·d·1=a·b·d

    Неравенство доказано.

    Разбор типовых задач

    Для того, чтобы определить, чему равно произведение векторов, следует знать координаты умножаемых векторов. Для операции можно использовать такую формулу a·b·d=(a×b, d)=axayazbxbybzdxdydz

    Пример 3

    В прямоугольной системе координат представлены 3 вектора с такими координатами: a=(1, -2, 3),  b(-2, 2, 1),  d=(3,-2, 5) . Необходимо определить, чему равно произведение указанных векторов a·b·d .

    Исходя из теории, представленной выше, мы можем воспользоваться правилом, которое гласит, что смешанное произведение может быть вычислено через определитель матрицы. Это будет выглядеть так: a·b·d=(a×b, d)=axayazbxbybzdxdydz=1-13-2213-25==1·2·5+(-1)·1·3+3·(-2)·(-2)-3·2·3-(-1)·(-2)·5-1·1·(-2)=-7

    Пример 4

    Необходимо найти произведение векторовi+j, i+j-k, i+j+2·k , где i,j, k - орты прямоугольной декартовой системы координат.

    Исходя из условия, которое гласит, что вектора расположены в данной системе координат, можно вывести их координаты: i+j=(1, 1, 0)i+j-k=(1, 1, -1)i+j+2·k=(1, 1, 2)

    Используем формулу, которая использовалась выше
    i+j×(i+j-k, (i+j+2·k)=11011-1112=0i+j×(i+j-k, (i+j+2·k)=0

    Смешанное произведение также возможно определить с помощью длины вектора, которая уже известна, и угла между ними. Разберем этот тезис в примере.

    Пример 5

    В прямоугольной системе координат расположены три вектора a,b и d , которые перпендикулярны между собой. Они представляют собой правую тройку, их длины составляют 4, 2 и 3. Необходимо умножить вектора.

    Обозначим c=a×b .

    Согласно правилу, результатом умножения скалярных векторов является число, которое равно результату умножения длин используемых векторов на косинус угла между ними. Делаем вывод, что a·b·d=([a×b], d)=c,d=c·d·cos(c, d^) .

    Используем длину вектора d , указанную в условии примера: a·b·d=c·d·cos(c, d^)=3·c·cos(c, d^) . Необходимо определить си с, d^ . По условию a,b^=π2, a=4, b=2 . Вектор c найдем с помощью формулы: c=[a×b]=a·b·sina, b^=4·2·sinπ2=8
    Можно сделать вывод, что c перпендикулярен a и b . Вектора a, b, c будут являться правой тройкой, так использована декартовая система координат. Векторы c и d будут однонаправленными, то есть, c,d^=0 . Используя выведенные результаты, решаем пример a·b·d=3·c·cos(c, d^)=3·8·cos 0=24 .

    a·b·d=24 .

    Геометрический смысл

    Используем множители a, b и d .

    Вектора a, b и d исходят от одной точки. Используем их как стороны для построения фигуры.

    Обозначим, что c=[a×b]. Для данного случая можно определить произведение векторов как a·b·d=c·d·cos(c, d^)=c·npcd , где npcd - числовая проекция вектора d на направление вектора c=[a×b] .

    Абсолютная величина npcd равняется числу, которое также является равно высоте фигуры, для которого использованы вектора a, b и d в качестве сторон. Исходя из этого, следует уточнить, что c=[a×b] перпендикулярен a и вектору и вектору согласно определению умножения векторов. Величина c=axb равняется площади параллелепипеда, построенного на векторах a и b .

    Делаем вывод, что модуль произведения a·b·d=c·npcd равен результату умножения площади основания на высоту фигуры, которая построена на векторах a, b и d .

    Определение 4

    Абсолютная величина векторного произведения является объемом параллелепипеда: Vпараллелепипида=a·b·d .

    Данная формула и является геометрическим смыслом.

    Определение 5

    Объем тетраэдра, который построен на a,b и d , равняется 1/6 объема параллелепипеда Получаем, Vтэтраэда=16·Vпараллелепипида=16·a·b·d .

    Для того, чтобы закрепить знания, разберем несколько типичных примеров

    Пример 6

    Необходимо найти объем параллелепипеда, в качестве сторон которого используются AB=(3, 6, 3), AC=(1, 3, -2), AA1=(2, 2, 2) , заданные в прямоугольной системе координат. Объем параллелепипеда можно найти, используя формулу об абсолютной величине. Из этого следует:AB·AC·AA1=36313-2222=3·3·2+6·(-2)·2+3·1·2-3·3·2-6·1·2-3·(-2)·2=-18

    Тогда, Vпараллелепипеда=-18=18 .

    Vпараллелепипида=18

    Пример 7

    В системе координат заданы точки A(0, 1,  0), B(3, -1, 5),  C(1, 0, 3), D(-2, 3, 1) . Следует определить объем тетраэдра, который расположен на этих точках.

    Воспользуемся формулой Vтэтраэдра=16·AB·AC·AD . Мы можем определить координаты векторов по координатам точек: AB=(3-0, -1-1, 5-0)=(3, -2, 5)AC=(1-0, 0-1, 3-0) =(1,-1, 3)AD=(-2-0, 3-1, 1-0)=(-2, 2, 1)

    Дальше определяем смешанное произведение AB·AC·AD по координатам векторов: AB·AC·AD=3-251-13-221=3·(-1)·1+(-2)·3·(-2)+5·1·2-5·(-1)·(-2)-(-2)·1·1-3·3·2=-7 Объем Vтэтраэдра=16·-7=76 .

    Vтэтраэдра=76 .

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter