Скалярное произведение векторов: свойства, примеры вычисления, физический смысл

Скалярное произведение векторов: свойства, примеры вычисления, физический смысл

    Определение 1

    Скалярное произведение векторов называют число, равное произведению дин этих векторов на косинус угла между ними.

    Обозначение произведения векторов a и b имеет вид a,b. Преобразуем в формулу:

    a,b=a·b·cosa,b^. a и b обозначают длины векторов, a,b^ - обозначение угла между заданными векторами. Если хоть один вектор нулевой, то есть имеет значение 0, то и результат будет равен нулю, a,b=0

    При умножении вектора самого на себя, получим квадрат его дины:

    a,b=a·b·cosa,a^=a2·cos0=a2

    Определение 2

    Скалярное умножение вектора самого на себя называют скалярным квадратом.

    Вычисляется по формуле:

    a,b=a·b·cosa,b^.

    Запись a,b=a·b·cosa,b^=a·npab=b·npba показывает, что npba - это числовая проекция a на b, npaa- проекция b на a соостветсвенно.

    Сформулируем определение произведения для двух векторов:

    Скалярное произведение двух векторов a на b называют произведение длины вектора a на проекцию b на направление a или произведение длины b на проекцию a соответственно.

    Скалярное произведение в координатах

    Вычисление скалярного произведения можно производить через координаты векторов в заданной плоскости или в пространстве.

    Скаларное произведение двух векторов на плоскости, в трехмерном простарнстве называют сумму координат заданных векторов a и b.

    При вычислении на плоскости скаларного произведения заданных векторов a=(ax,ay), b=(bx,by) в декартовой системе используют:

    a,b=ax·bx+ay·by,

    для трехмерного пространства применимо выражение:

    a,b=ax·bx+ay·by+az·bz.

    Фактически это является третьим определением скалярного произведения.

    Докажем это.

    Доказательство 1

    Для доказательства используем a,b=a·b·cosa,b^=ax·bx+ay·by для векторов a=(ax,ay), b=(bx,by) на декартовой системе.

    Следует отложить векторы

    OA=a=ax,ay и OB=b=bx,by.

    Тогда длина вектора ABбудет равна AB=OB-OA=b-a=(bx-ax,by-ay).

    Рассмотрим треугольник OAB.

    AB2=OA2+OB2-2·OA·OB·cos(AOB) верно , исходя из теоремы косинусов.

    По условию видно, что OA=a, OB=b, AB=b-a, AOB=a,b^, значит, формулу нахождения угла между векторами запишем иначе

    b-a2=a2+b2-2·a·b·cos(a,b^).

    Тогда из первого определения следует, что b-a2=a2+b2-2·(a,b), значит (a,b)=12·(a2+b2-b-a2).

    Применив формулу вычисления длины векторов, получим:
    a,b=12·((a2x+ay2)2+(b2x+by2)2-((bx-ax)2+(by-ay)2)2)==12·(a2x+a2y+b2x+b2y-(bx-ax)2-(by-ay)2)==ax·bx+ay·by

    Докажем равенства:

    (a,b)=a·b·cos(a,b^)==ax·bx+ay·by+az·bz

    – соответственно для векторов трехмерного пространства.

    Скалярное произведение векторов с координатами говорит о том, что скалярный квадрат вектора равен сумме квадратов его координат в пространстве и на плоскости соответственно. a=(ax,ay,az), b=(bx,by,bz) и (a,a)=ax2+ay2.

    Скалярное произведение и его свойства

    Существуют свойства скалярного произведения, которые применимы для a,b и c:

    1. коммутативность (a,b)=(b,a);
    2. дистрибутивность(a+b,c)=(a,c)+(b,c), (a+b,c)=(a,b)+(a,c);
    3. сочетательное свойство (λ·a,b)=λ·(a,b),(a,λ·b)=λ·(a,b)λ - любое число;
    4. скалярный квадрат всегда больше нуля (a,a)0, где (a,a)=0 в том случае, когда a нулевой.
    Пример 1

    Свойства объяснимы благодаря определению скалярного произведения на плоскости и свойствам при сложении и умножении действительных чисел.

    Доказать свойство коммутативности (a,b)=(b,a). Из определения имеем, что (a,b)=ay·by+ay·by и (b,a)=bx·ax+by·ay.

    По свойству коммутативности равенства ax·bx=bx·ax и ay·by=by·ay верны, значит ax·bx+ay·by=bx·ax+by·ay.

    Отсюда следует, что (a,b)=(b,a). Что и требовалось доказать.

    Дистрибутивность справедлива для любых чисел:

    (a(1)+a(2)+...+a(n),b)=(a(1),b)+(a(2),b)+...+(a(n),b)

    и (a,b(1)+b(2)+...+b(n))=(a,b(1))+(a,b(2))+...+(a,b(n)),

    отсюда имеем

    (a(1)+a(2)+...+a(n),b(1)+b(2)+...+b(m))==(a(1),b(1))+(a(1),b(2))+...+(a(1),b(m))++(a(2),b(1))+(a(2),b(2))+...+(a(2),b(m))+...++(a(n),b(1))+(a(n),b(2))+...+(a(n),b(m))

    Скалярное произведение с примерами и решениями

    Любая задача такого плана решается с применением свойств и формул, касающихся скалярного произведения:

    1. (a,b)=a·b·cos(a,b^);
    2. (a,b)=a·npab=b·npba;
    3. (a,b)=ax·bx+ay·by или (a,b)=ax·bx+ay·by+az·bz;
    4. (a,a)=a2.

    Рассмотрим некоторые примеры решения.

    Пример 2

    Длина a равна 3, длина b равна 7. Найти скалярное произведение, если угол имеет 60 градусов.

    Решение

    По условию имеем все данные, поэтому вычисляем по формуле:

    (a,b)=a·b·cos(a,b^)=3·7·cos60°=3·7·12=212

    Ответ:(a,b)=212.

    Пример 3

    Заданны векторы a=(1,-1,2-3), b=(0,2,2+3). Чему равно скалярной произведение.

    Решение

    В данном примере рассматривается формула вычисления по координатам, так как они заданы в условии задачи:

    (a,b)=ax·bx+ay·by+az·bz==1·0+(-1)·2+(2+3)·(2+3)==0-2+(2-9)=-9

    Ответ: (a,b)=-9

    Пример 4

    Найти скалярное произведение AB и AC. На координатной плоскости заданы точки A(1,-3), B(5,4), C(1,1).

    Решение

    Для начала вычисляются координаты векторов, так как по условию даны координаты точек:

    AB=(5-1,4-(-3))=(4,7)AC=(1-1,1-(-3))=(0,4)

    Подставив в формулу с использованием координат, получим:

    (AB,AC)=4·0+7·4=0+28=28.

    Ответ: (AB,AC)=28.

    Пример 5

    Заданы векторы a=7·m+3·n и b=5·m+8·n, найти их произведение.m равен 3 и n равен 2 единицам, они перпендикулярные.

    Решение

    (a,b)=(7·m+3·n, 5·m+8·n). Применив свойство дистрибутивности, получим:

    (7·m+3·n, 5·m+8·n)==(7·m, 5·m)+(7·m, 8·n)+(3·n, 5·m)+(3·n, 8·n)

    Выносим коэффициент за знак произведения и получим:

    (7·m, 5·m)+(7·m, 8·n)+(3·n, 5·m)+(3·n, 8·n)==7·5·(m,m)+7·8·(m,n)+3·5·(n,m)+3·8·(n,n)==35·(m,m)+56·(m,n)+15·(n,m)+24·(n,n)

    По свойству коммутативности преобразуем:

    35·(m,m)+56·(m,n)+15·(n,m)+24·(n,n)==35·(m,m)+56·(m,n)+15·(m,n)+24·(n,n)==35·(m,m)+71·(m,n)+24·(n,n)

    В итоге получим:

    (a,b)=35·(m,m)+71·(m,n)+24·(n,n).

    Теперь применим формулу для скалярного произведения с заданным по условию углом:

    (a,b)=35·(m,m)+71·(m,n)+24·(n,n)==35·m2+71·m·n·cos(m,n^)+24·n2==35·32+71·3·2·cosπ2+24·22=411.

    Ответ: (a,b)=411

    Если имеется числовая проекция.

    Пример 6

    Найти скалярное произведение aи b. Вектор a имеет координаты a=(9,3,-3), проекция b с координатами (-3,-1,1).

    Решение

    По условию векторы a и проекция b противоположно направленные, потому что a=-13·npab, значит проекция b соответствует длине npab, при чем со знаком «-»:

    npab=-npab=-(-3)2+(-1)2+12=-11,

    Подставив в формулу, получим выражение:

    (a,b)=a·npab=92+32+(-3)2·(-11)=-33.

    Ответ: (a,b)=-33.

    Задачи при известном скалярном произведении, где необходимо отыскать длину вектора или числовую проекцию.

    Пример 7

    Какое значение должна принять λ при заданном скалярном произведении a=(1,0,λ+1) и b=(λ,1,λ) будет равным -1.

    Решение

    Из формулы видно, что необходимо найти сумму произведений координат:

    (a,b)=1·λ+0·1+(λ+1)·λ=λ2+2·λ.

    В дано имеем (a,b)=-1.

    Чтобы найти λ, вычисляем уравнение:

    λ2+2·λ=-1, отсюда λ=-1.

    Ответ: λ=-1.

    Физический смысл скалярного произведения

    Механика рассматривает приложение скалярного произведения.

    При работе А с постоянной силой F перемещаемое тело из точки M в N можно найти произведение длин векторов F и MN с косинусом угла между ними, значит работа равна произведению векторов силы и перемещения:

    A=(F,MN).

    Пример 8

    Перемещение материальной точки на 3 метра под действием силы равной 5 ньтонов направлено под углом 45 градусов относительно оси. Найти A.

    Решение

    Так как работа – это произведение вектора силы на перемещение, значит, исходя из условия F=5, S=3, (F,S^)=45°, получим A=(F,S)=F·S·cos(F,S^)=5·3·cos(45°)=1522.

    Ответ: A=1522.

    Пример 9

    Материальная точка, перемещаясь из M(2,-1,-3) в N(5,3λ-2,4) под силой F=(3,1,2), совершила работа равную 13 Дж. Вычислить длину перемещения.

    Решение

    При заданных координатах вектора MN имеем MN=(5-2, 3λ-2-(-1), 4-(-3))=(3, 3λ-1,7).

    По формуле нахождения работы с векторами F=(3,1,2) и MN=(3, 3λ-1,7) получим A=(F, MN)=3·3+1·(3λ-1)+2·7=22+3λ.

    По условию дано, что A=13Дж, значит 22+3λ=13. Отсюда следует λ=-3, значит и MN=(3,3λ-1,7)=(3,-10,7).

    Чтобы найти длину перемещения MN , применим формулу и подставим значения:

    MN=32+(-10)2+72=158.

    Ответ: 158.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter