Проекция вектора на ось и числовая проекция, вычислить проекцию вектора на ось

Проекция вектора на ось и числовая проекция

    Ось – это направление. Значит, проекция на ось или на направленную прямую считается одним и тем же. Проекция бывает алгебраическая и геометрическая. В геометрическом понимают проекцию вектора на ось как вектор, а алгебраическом – число. То есть применяются понятия проекция вектора на ось и числовая проекция вектора на ось.

    Если имеем ось и ненулевой вектор AB, то можем построить вектор A1B1, обозначив проекции его точек A1 и B1

    A1Bбудет являться проекцией вектора AB на L.

    Определение 1

    Проекцией вектора на ось называют вектор, начало и конец которого являются проекции начала и конца заданного вектора. npLAB принято обозначать проекцию AB на L. Для построения проекции на опускают перпендикуляры на L

    Проекция вектора на ось на плоскости в трехмерном пространстве

    Пример 1

    Пример проекции вектора на ось.

    На координатной плоскости Оху задается точка M1 (x1, y1). Необходимо построить проекции на Ох и Оу для изображения радиус-вектора точки M1. Получим координаты векторов (x1, 0) и (0, y1).

    координаты векторов (x1, 0) и (0, y1).

    Если идет речь о проекции a на ненулевой b или проекции a на направление b, то имеется в виду проекция aна ось, с которой совпадает направление b. Проекция a на прямую, определяемая b, имеет обозначение npba. Известно, что когда угол междуa и b, можно считать npba и b сонаправленными. В случае, когда угол тупой, npba и bпротивоположно направлены. В ситуации перпендикулярностиa и b, причем a - нулевой, проекция a по направлению b является нулевым вектором.

    Числовая проекция вектора на ось

    Числовая характеристика проекции вектора на ось – числовая проекция вектора на заданную ось.

    Определение 2

    Числовой проекцией вектора на ось называют число, которое равно произведению длины данного вектора на косинус угла между данным вектором и вектором, который определяет направление оси.

    Числовая проекция AB на L имеет обозначениеnLAB, а a на b - npba.

    Исходя из формулы, получим npba=a·cosa, b^, откуда a является длиной вектора a, a, b^ - угол между векторами a и b.

    Получим формулу вычисления числовой проекции: npba=a·cosa, b^. Она применима при известных длинах a и b и угле между ними. Формула применима при известных координатах a и b, но имеется ее упрощенный вид.

    Пример 2

    Узнать числовую проекцию a на прямую по направлению b при длине a равной 8 и углом между ними в 60 градусов. По условию имеем a=8, a, b^=60°. Значит, подставляем числовые значения в формулу npba=a·cosa,b^=8·cos 60°=8·12=4.

    Ответ: 4.

    При известном cos(a, b^)=a, ba·b, имеем a, b как скалярное произведение a и b. Следуя из формулы npba=a·cosa, b^, мы можем найти числовую проекцию a направленную по вектору b и получим npba=a, bb. Формула эквивалента определению, указанному в начале пункта.

    Определение 3

    Числовой проекцией вектора a на ось , совпадающей по направлению с b, называют отношение скалярного произведения векторовa иb к длине b. Формула npba=a,bb применима для нахождения числовой проекции a на прямую, совпадающую по направлению с b, при известных a и b координатах.

    Пример 3

    Задан b=(-3, 4). Найти числовую проекцию a=(1, 7) на L.

    Решение 

    На координатной плоскости npba=a, bb имеет вид npba=a, bb=ax·bx+ay·bybx2+by2, при a=(ax, ay)  и b=bx, by. Чтобы найти числовую проекцию вектора a на ось L, нужно: npLa=npba=a,bb=ax·bx+ay·bybx2+by2=1·(-3)+7·4(-3)2+42=5.

    Ответ: 5.

    Пример 4

    Найти проекцию a на L, совпадающей с направлением b, где имеются a=-2, 3, 1 и b=(3, -2, 6). Задано трехмерное пространство.

    Решение 

    По заданнымa=ax, ay, az и b=bx, by, bz вычислим скалярное произведение: a, b=ax·bx+ay·by+az·bz. Длину b найдем по формуле b=bx2+by2+bz2. Отсюда следует, что формула определения числовой проекции a будет: npba=a, bb=ax·bx+ay·by+az·bzbx2+by2+bz2.

    Подставляем числовые значения: npLa=npba=(-2)·3+3·(-2)+1·632+(-2)2+62=-649=-67.

    Ответ: -67.

    Просмотрим связь междуa на L и длиной проекции a на L. Начертим ось L, добавив a и b из точки на L, после чего проведем перпендикулярную прямую с конца a на L и проведем проекцию на L. Существуют 5 вариаций изображения:

    Первый случай при a=npba означает a=npba, отсюда следует npba=a·cos(a,b^)=a·cos0°=a=npba.

    Второй случай подразумевает применение npba=a·cosa,b, значит, npba=a·cos(a,b)^=npba.

    Третий случай объясняет, что при npba=0 получаем npba=a·cos(a,b^)=a·cos90°=0, тогда npba=0 и npba=0=npba.

    Четвертый случай показывает npba=a·cos(180°-a,b^) = -a·cos(a , b^), следует npba=a·cos(a,b^)=-npba.

    Пятый случай показывает a=npba, что означаетa=npba, отсюда имеем npba=a·cosa,b^=a·cos180°=-a=-npba.

    Определение 4

    Числовой проекцией вектора a на ось L, которая направлена как и b, имеет значение:

    • длины проекции вектора a на  L при условии, если угол между a и b меньше 90 градусов или равен 0: npba=npba с условием 0(a,b)^<90°;
    • ноля при условии перпендикулярности a и b: npba=0, когда (a, b^)=90°;
    • длины проекции a на L, умноженной на -1, когда имеется тупой или развернутый угол векторов a и b: npba=-npba с условием 90°<a,b^180°.
    Пример 5

    Дана длина проекцииa на L, равная 2. Найти числовую проекциюa при условии, что угол равен 5π6 радиан.

    Решение 

    Из условия видно, что данный угол является тупым: π2<5π6<π. Тогда можем найти числовую проекцию a на L: npLa=-npLa=-2.

    Ответ: -2.

    Пример 6

    Дана плоскость Охyzс длиной вектора a равной 63,b(-2, 1, 2) с углом в 30 градусов. Найти координаты проекции a на ось L.

    Решение

    Для начала вычисляем числовую проекцию вектораa: npLa=npba=a·cos(a,b)^=63·cos30°=63·32=9.

    По условию угол острый, тогда числовая проекция a= длине проекции вектора a: npLa=npLa=9. Данный случай показывает, что векторы npLa и b сонаправлены, значит имеется число t, при котором верно равенство: npLa=t·b. Отсюда видим, что npLa=t·b, значит можем найти значение параметра t: t=npLab=9(-2)2+12+22=99=3.

    Тогда npLa=3·b с координатами проекции вектора a на ось L равны b=(-2,1, 2), где необходимо умножить значения на 3. Имеем npLa=(-6, 3, 6). Ответ: (-6, 3, 6).

    Необходимо повторить ранее изученную информацию об условии коллинеарности векторов.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter